Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29026 / 45282
↖ ↑ ↗
← S 56.468560°
W 20.555420°		 ← 337.43 m → S 56.468560°
W 20.549927°		 →
↑
337.41 m
↓
↑
337.41 m
↓
S 56.471594°
W 20.555420°		 ← 337.40 m →
113 847 m²		 S 56.471594°
W 20.549927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442909240722656 y=0.690956115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442909240722656 × 216)
    floor (0.442909240722656 × 65536)
    floor (29026.5)     		tx = 29026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690956115722656 × 216)
    floor (0.690956115722656 × 65536)
    floor (45282.5)     		ty = 45282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29026 / 45282 ti = "16/29026/45282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29026/45282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29026 ÷ 216
    29026 ÷ 65536     		x = 0.442901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45282 ÷ 216
    45282 ÷ 65536     		y = 0.690948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.11419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35875976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.38189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19976472369077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35875976} λ = -0.35875976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19976472369077))-π/2
    2×atan(0.301265084111691)-π/2
    2×0.292617017606387-π/2
    0.585234035212774-1.57079632675     		φ = -0.98556229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35875976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.555420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98556229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.468560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29026 KachelY 45282 -0.35875976 -0.98556229 -20.555420 -56.468560
    Oben rechts KachelX + 1 29027 KachelY 45282 -0.35866388 -0.98556229 -20.549927 -56.468560
    Unten links KachelX 29026 KachelY + 1 45283 -0.35875976 -0.98561525 -20.555420 -56.471594
    Unten rechts KachelX + 1 29027 KachelY + 1 45283 -0.35866388 -0.98561525 -20.549927 -56.471594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98556229--0.98561525) × R
    5.29600000001018e-05 × 6371000     		dl = 337.408160000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98556229--0.98561525) × R
    5.29600000001018e-05 × 6371000     		dr = 337.408160000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35875976--0.35866388) × cos(-0.98556229) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		do = 337.430989628463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35875976--0.35866388) × cos(-0.98561525) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552350339188802 × 6371000     		du = 337.404022171956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98556229)-sin(-0.98561525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552394486510025-0.552350339188802)×R²
    abs(-0.35866388--0.35875976)×4.41473212220433e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41473212220433e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41473212220433e-05×40589641000000     		ar = 113847.419844587m²