Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29026 / 44386
↖ ↑ ↗
← S 53.651150°
W 20.555420°		 ← 362.05 m → S 53.651150°
W 20.549927°		 →
↑
362.06 m
↓
↑
362.06 m
↓
S 53.654406°
W 20.555420°		 ← 362.02 m →
131 081 m²		 S 53.654406°
W 20.549927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442909240722656 y=0.677284240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442909240722656 × 216)
    floor (0.442909240722656 × 65536)
    floor (29026.5)     		tx = 29026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677284240722656 × 216)
    floor (0.677284240722656 × 65536)
    floor (44386.5)     		ty = 44386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29026 / 44386 ti = "16/29026/44386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29026/44386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29026 ÷ 216
    29026 ÷ 65536     		x = 0.442901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44386 ÷ 216
    44386 ÷ 65536     		y = 0.677276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.11419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35875976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.35455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11386179957162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35875976} λ = -0.35875976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11386179957162))-π/2
    2×atan(0.32828872469827)-π/2
    2×0.317203556567246-π/2
    0.634407113134492-1.57079632675     		φ = -0.93638921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35875976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.555420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93638921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.651150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29026 KachelY 44386 -0.35875976 -0.93638921 -20.555420 -53.651150
    Oben rechts KachelX + 1 29027 KachelY 44386 -0.35866388 -0.93638921 -20.549927 -53.651150
    Unten links KachelX 29026 KachelY + 1 44387 -0.35875976 -0.93644604 -20.555420 -53.654406
    Unten rechts KachelX + 1 29027 KachelY + 1 44387 -0.35866388 -0.93644604 -20.549927 -53.654406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93638921--0.93644604) × R
    5.68300000000077e-05 × 6371000     		dl = 362.063930000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93638921--0.93644604) × R
    5.68300000000077e-05 × 6371000     		dr = 362.063930000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35875976--0.35866388) × cos(-0.93638921) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.592700096641975 × 6371000     		do = 362.051731229866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35875976--0.35866388) × cos(-0.93644604) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.592654323482168 × 6371000     		du = 362.023770627453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93638921)-sin(-0.93644604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592700096641975-0.592654323482168)×R²
    abs(-0.35866388--0.35875976)×4.57731598079159e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.57731598079159e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.57731598079159e-05×40589641000000     		ar = 131080.810944653m²