Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29025 / 45283
↖ ↑ ↗
← S 56.471594°
W 20.560913°		 ← 337.37 m → S 56.471594°
W 20.555420°		 →
↑
337.34 m
↓
↑
337.34 m
↓
S 56.474628°
W 20.560913°		 ← 337.34 m →
113 805 m²		 S 56.474628°
W 20.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442893981933594 y=0.690971374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442893981933594 × 216)
    floor (0.442893981933594 × 65536)
    floor (29025.5)     		tx = 29025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690971374511719 × 216)
    floor (0.690971374511719 × 65536)
    floor (45283.5)     		ty = 45283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29025 / 45283 ti = "16/29025/45283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29025/45283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29025 ÷ 216
    29025 ÷ 65536     		x = 0.442886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45283 ÷ 216
    45283 ÷ 65536     		y = 0.690963745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442886352539062 × 2 - 1) × π
    -0.114227294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35885563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690963745117188 × 2 - 1) × π
    -0.381927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19986059749001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35885563} λ = -0.35885563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19986059749001))-π/2
    2×atan(0.301236202068037)-π/2
    2×0.292590538585511-π/2
    0.585181077171023-1.57079632675     		φ = -0.98561525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35885563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.560913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98561525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.471594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29025 KachelY 45283 -0.35885563 -0.98561525 -20.560913 -56.471594
    Oben rechts KachelX + 1 29026 KachelY 45283 -0.35875976 -0.98561525 -20.555420 -56.471594
    Unten links KachelX 29025 KachelY + 1 45284 -0.35885563 -0.98566820 -20.560913 -56.474628
    Unten rechts KachelX + 1 29026 KachelY + 1 45284 -0.35875976 -0.98566820 -20.555420 -56.474628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98561525--0.98566820) × R
    5.29499999999405e-05 × 6371000     		dl = 337.344449999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98561525--0.98566820) × R
    5.29499999999405e-05 × 6371000     		dr = 337.344449999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35885563--0.35875976) × cos(-0.98561525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552350339188802 × 6371000     		do = 337.368831931865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35885563--0.35875976) × cos(-0.98566820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552306198654783 × 6371000     		du = 337.341871433524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98561525)-sin(-0.98566820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552350339188802-0.552306198654783)×R²
    abs(-0.35875976--0.35885563)×4.41405340196876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41405340196876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41405340196876e-05×40589641000000     		ar = 113804.955594204m²