Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29023 / 44277
↖ ↑ ↗
← S 53.294772°
W 20.571900°		 ← 365.10 m → S 53.294772°
W 20.566406°		 →
↑
365.06 m
↓
↑
365.06 m
↓
S 53.298055°
W 20.571900°		 ← 365.08 m →
133 279 m²		 S 53.298055°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442863464355469 y=0.675621032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442863464355469 × 216)
    floor (0.442863464355469 × 65536)
    floor (29023.5)     		tx = 29023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675621032714844 × 216)
    floor (0.675621032714844 × 65536)
    floor (44277.5)     		ty = 44277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29023 / 44277 ti = "16/29023/44277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29023/44277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29023 ÷ 216
    29023 ÷ 65536     		x = 0.442855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44277 ÷ 216
    44277 ÷ 65536     		y = 0.675613403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.114288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35904738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675613403320312 × 2 - 1) × π
    -0.351226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10341155545445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35904738} λ = -0.35904738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10341155545445))-π/2
    2×atan(0.33173741043101)-π/2
    2×0.320313536762429-π/2
    0.640627073524857-1.57079632675     		φ = -0.93016925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35904738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.571900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93016925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.294772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29023 KachelY 44277 -0.35904738 -0.93016925 -20.571900 -53.294772
    Oben rechts KachelX + 1 29024 KachelY 44277 -0.35895150 -0.93016925 -20.566406 -53.294772
    Unten links KachelX 29023 KachelY + 1 44278 -0.35904738 -0.93022655 -20.571900 -53.298055
    Unten rechts KachelX + 1 29024 KachelY + 1 44278 -0.35895150 -0.93022655 -20.566406 -53.298055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93016925--0.93022655) × R
    5.73000000000379e-05 × 6371000     		dl = 365.058300000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93016925--0.93022655) × R
    5.73000000000379e-05 × 6371000     		dr = 365.058300000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35904738--0.35895150) × cos(-0.93016925) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.597698299550306 × 6371000     		do = 365.104890873971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35904738--0.35895150) × cos(-0.93022655) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.597652359949359 × 6371000     		du = 365.076828600742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93016925)-sin(-0.93022655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597698299550306-0.597652359949359)×R²
    abs(-0.35895150--0.35904738)×4.59396009468982e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.59396009468982e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.59396009468982e-05×40589641000000     		ar = 133279.448637856m²