Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29022 / 44919
↖ ↑ ↗
← S 55.351012°
W 20.577392°		 ← 347.26 m → S 55.351012°
W 20.571900°		 →
↑
347.28 m
↓
↑
347.28 m
↓
S 55.354136°
W 20.577392°		 ← 347.23 m →
120 593 m²		 S 55.354136°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442848205566406 y=0.685417175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442848205566406 × 216)
    floor (0.442848205566406 × 65536)
    floor (29022.5)     		tx = 29022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685417175292969 × 216)
    floor (0.685417175292969 × 65536)
    floor (44919.5)     		ty = 44919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29022 / 44919 ti = "16/29022/44919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29022/44919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29022 ÷ 216
    29022 ÷ 65536     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44919 ÷ 216
    44919 ÷ 65536     		y = 0.685409545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685409545898438 × 2 - 1) × π
    -0.370819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1649625345666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1649625345666))-π/2
    2×atan(0.311934348569285)-π/2
    2×0.302369458848952-π/2
    0.604738917697904-1.57079632675     		φ = -0.96605741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96605741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.351012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29022 KachelY 44919 -0.35914325 -0.96605741 -20.577392 -55.351012
    Oben rechts KachelX + 1 29023 KachelY 44919 -0.35904738 -0.96605741 -20.571900 -55.351012
    Unten links KachelX 29022 KachelY + 1 44920 -0.35914325 -0.96611192 -20.577392 -55.354136
    Unten rechts KachelX + 1 29023 KachelY + 1 44920 -0.35904738 -0.96611192 -20.571900 -55.354136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96605741--0.96611192) × R
    5.45100000000076e-05 × 6371000     		dl = 347.283210000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96605741--0.96611192) × R
    5.45100000000076e-05 × 6371000     		dr = 347.283210000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(-0.96605741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568547315392811 × 6371000     		do = 347.261746908254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(-0.96611192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568502471865926 × 6371000     		du = 347.234357030469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96605741)-sin(-0.96611192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568547315392811-0.568502471865926)×R²
    abs(-0.35904738--0.35914325)×4.48435268854963e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48435268854963e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48435268854963e-05×40589641000000     		ar = 120593.418184024m²