Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29022 / 44705
↖ ↑ ↗
← S 54.677007°
W 20.577392°		 ← 353.15 m → S 54.677007°
W 20.571900°		 →
↑
353.14 m
↓
↑
353.14 m
↓
S 54.680183°
W 20.577392°		 ← 353.12 m →
124 708 m²		 S 54.680183°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442848205566406 y=0.682151794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442848205566406 × 216)
    floor (0.442848205566406 × 65536)
    floor (29022.5)     		tx = 29022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682151794433594 × 216)
    floor (0.682151794433594 × 65536)
    floor (44705.5)     		ty = 44705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29022 / 44705 ti = "16/29022/44705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29022/44705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29022 ÷ 216
    29022 ÷ 65536     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44705 ÷ 216
    44705 ÷ 65536     		y = 0.682144165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682144165039062 × 2 - 1) × π
    -0.364288330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14444554152922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14444554152922))-π/2
    2×atan(0.31840040866115)-π/2
    2×0.308251263404842-π/2
    0.616502526809685-1.57079632675     		φ = -0.95429380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95429380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.677007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29022 KachelY 44705 -0.35914325 -0.95429380 -20.577392 -54.677007
    Oben rechts KachelX + 1 29023 KachelY 44705 -0.35904738 -0.95429380 -20.571900 -54.677007
    Unten links KachelX 29022 KachelY + 1 44706 -0.35914325 -0.95434923 -20.577392 -54.680183
    Unten rechts KachelX + 1 29023 KachelY + 1 44706 -0.35904738 -0.95434923 -20.571900 -54.680183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95429380--0.95434923) × R
    5.54300000000785e-05 × 6371000     		dl = 353.1445300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95429380--0.95434923) × R
    5.54300000000785e-05 × 6371000     		dr = 353.1445300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(-0.95429380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578185094546124 × 6371000     		do = 353.148384545058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(-0.95434923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578139868008865 × 6371000     		du = 353.120760729221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95429380)-sin(-0.95434923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578185094546124-0.578139868008865)×R²
    abs(-0.35904738--0.35914325)×4.52265372592464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52265372592464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52265372592464e-05×40589641000000     		ar = 124707.542712746m²