Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29022 / 44404
↖ ↑ ↗
← S 53.709713°
W 20.577392°		 ← 361.51 m → S 53.709713°
W 20.571900°		 →
↑
361.55 m
↓
↑
361.55 m
↓
S 53.712965°
W 20.577392°		 ← 361.48 m →
130 701 m²		 S 53.712965°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442848205566406 y=0.677558898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442848205566406 × 216)
    floor (0.442848205566406 × 65536)
    floor (29022.5)     		tx = 29022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677558898925781 × 216)
    floor (0.677558898925781 × 65536)
    floor (44404.5)     		ty = 44404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29022 / 44404 ti = "16/29022/44404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29022/44404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29022 ÷ 216
    29022 ÷ 65536     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44404 ÷ 216
    44404 ÷ 65536     		y = 0.67755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.3551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11558752795795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11558752795795))-π/2
    2×atan(0.327722676090705)-π/2
    2×0.316692492225308-π/2
    0.633384984450616-1.57079632675     		φ = -0.93741134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93741134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.709713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29022 KachelY 44404 -0.35914325 -0.93741134 -20.577392 -53.709713
    Oben rechts KachelX + 1 29023 KachelY 44404 -0.35904738 -0.93741134 -20.571900 -53.709713
    Unten links KachelX 29022 KachelY + 1 44405 -0.35914325 -0.93746809 -20.577392 -53.712965
    Unten rechts KachelX + 1 29023 KachelY + 1 44405 -0.35904738 -0.93746809 -20.571900 -53.712965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93741134--0.93746809) × R
    5.67499999999388e-05 × 6371000     		dl = 361.55424999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93741134--0.93746809) × R
    5.67499999999388e-05 × 6371000     		dr = 361.55424999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(-0.93741134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591876539917472 × 6371000     		do = 361.510951931501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35904738) × cos(-0.93746809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591830796839336 × 6371000     		du = 361.483012618813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93741134)-sin(-0.93746809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591876539917472-0.591830796839336)×R²
    abs(-0.35904738--0.35914325)×4.57430781364287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57430781364287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57430781364287e-05×40589641000000     		ar = 130700.770338909m²