Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29021 / 44253
↖ ↑ ↗
← S 53.215902°
W 20.582886°		 ← 365.78 m → S 53.215902°
W 20.577392°		 →
↑
365.70 m
↓
↑
365.70 m
↓
S 53.219191°
W 20.582886°		 ← 365.75 m →
133 758 m²		 S 53.219191°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442832946777344 y=0.675254821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442832946777344 × 216)
    floor (0.442832946777344 × 65536)
    floor (29021.5)     		tx = 29021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675254821777344 × 216)
    floor (0.675254821777344 × 65536)
    floor (44253.5)     		ty = 44253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29021 / 44253 ti = "16/29021/44253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29021/44253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29021 ÷ 216
    29021 ÷ 65536     		x = 0.442825317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44253 ÷ 216
    44253 ÷ 65536     		y = 0.675247192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442825317382812 × 2 - 1) × π
    -0.114349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35923913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675247192382812 × 2 - 1) × π
    -0.350494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10111058427269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35923913} λ = -0.35923913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10111058427269))-π/2
    2×atan(0.332501607512887)-π/2
    2×0.321001814474225-π/2
    0.642003628948451-1.57079632675     		φ = -0.92879270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35923913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.582886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92879270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.215902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29021 KachelY 44253 -0.35923913 -0.92879270 -20.582886 -53.215902
    Oben rechts KachelX + 1 29022 KachelY 44253 -0.35914325 -0.92879270 -20.577392 -53.215902
    Unten links KachelX 29021 KachelY + 1 44254 -0.35923913 -0.92885010 -20.582886 -53.219191
    Unten rechts KachelX + 1 29022 KachelY + 1 44254 -0.35914325 -0.92885010 -20.577392 -53.219191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92879270--0.92885010) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dl = 365.695399999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92879270--0.92885010) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dr = 365.695399999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35923913--0.35914325) × cos(-0.92879270) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598801342113452 × 6371000     		do = 365.778686055961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35923913--0.35914325) × cos(-0.92885010) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.59875536960525 × 6371000     		du = 365.750603681286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92879270)-sin(-0.92885010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598801342113452-0.59875536960525)×R²
    abs(-0.35914325--0.35923913)×4.59725082021523e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59725082021523e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59725082021523e-05×40589641000000     		ar = 133758.448148079m²