Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29017 / 44381
↖ ↑ ↗
← S 53.634868°
W 20.604858°		 ← 362.15 m → S 53.634868°
W 20.599365°		 →
↑
362.13 m
↓
↑
362.13 m
↓
S 53.638125°
W 20.604858°		 ← 362.13 m →
131 141 m²		 S 53.638125°
W 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442771911621094 y=0.677207946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442771911621094 × 216)
    floor (0.442771911621094 × 65536)
    floor (29017.5)     		tx = 29017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677207946777344 × 216)
    floor (0.677207946777344 × 65536)
    floor (44381.5)     		ty = 44381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29017 / 44381 ti = "16/29017/44381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29017/44381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29017 ÷ 216
    29017 ÷ 65536     		x = 0.442764282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44381 ÷ 216
    44381 ÷ 65536     		y = 0.677200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442764282226562 × 2 - 1) × π
    -0.114471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35962262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.354400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11338243057542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35962262} λ = -0.35962262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11338243057542))-π/2
    2×atan(0.328446133860214)-π/2
    2×0.317345645017865-π/2
    0.63469129003573-1.57079632675     		φ = -0.93610504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35962262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.604858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93610504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.634868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29017 KachelY 44381 -0.35962262 -0.93610504 -20.604858 -53.634868
    Oben rechts KachelX + 1 29018 KachelY 44381 -0.35952675 -0.93610504 -20.599365 -53.634868
    Unten links KachelX 29017 KachelY + 1 44382 -0.35962262 -0.93616188 -20.604858 -53.638125
    Unten rechts KachelX + 1 29018 KachelY + 1 44382 -0.35952675 -0.93616188 -20.599365 -53.638125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93610504--0.93616188) × R
    5.68399999999469e-05 × 6371000     		dl = 362.127639999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93610504--0.93616188) × R
    5.68399999999469e-05 × 6371000     		dr = 362.127639999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35962262--0.35952675) × cos(-0.93610504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592928949829956 × 6371000     		do = 362.153751035073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35962262--0.35952675) × cos(-0.93616188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592883178190482 × 6371000     		du = 362.125794277469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93610504)-sin(-0.93616188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592928949829956-0.592883178190482)×R²
    abs(-0.35952675--0.35962262)×4.57716394745011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57716394745011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57716394745011e-05×40589641000000     		ar = 131140.821257085m²