Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29016 / 44767
↖ ↑ ↗
← S 54.873446°
W 20.610351°		 ← 351.44 m → S 54.873446°
W 20.604858°		 →
↑
351.42 m
↓
↑
351.42 m
↓
S 54.876607°
W 20.610351°		 ← 351.41 m →
123 499 m²		 S 54.876607°
W 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442756652832031 y=0.683097839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442756652832031 × 216)
    floor (0.442756652832031 × 65536)
    floor (29016.5)     		tx = 29016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683097839355469 × 216)
    floor (0.683097839355469 × 65536)
    floor (44767.5)     		ty = 44767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29016 / 44767 ti = "16/29016/44767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29016/44767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29016 ÷ 216
    29016 ÷ 65536     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44767 ÷ 216
    44767 ÷ 65536     		y = 0.683090209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683090209960938 × 2 - 1) × π
    -0.366180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15038971708211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15038971708211))-π/2
    2×atan(0.316513394663381)-π/2
    2×0.306537010250015-π/2
    0.613074020500029-1.57079632675     		φ = -0.95772231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95772231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.873446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29016 KachelY 44767 -0.35971849 -0.95772231 -20.610351 -54.873446
    Oben rechts KachelX + 1 29017 KachelY 44767 -0.35962262 -0.95772231 -20.604858 -54.873446
    Unten links KachelX 29016 KachelY + 1 44768 -0.35971849 -0.95777747 -20.610351 -54.876607
    Unten rechts KachelX + 1 29017 KachelY + 1 44768 -0.35962262 -0.95777747 -20.604858 -54.876607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95772231--0.95777747) × R
    5.51600000000541e-05 × 6371000     		dl = 351.424360000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95772231--0.95777747) × R
    5.51600000000541e-05 × 6371000     		dr = 351.424360000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35962262) × cos(-0.95772231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57538436122893 × 6371000     		do = 351.437730887885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35962262) × cos(-0.95777747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575339245919403 × 6371000     		du = 351.410175008586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95772231)-sin(-0.95777747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57538436122893-0.575339245919403)×R²
    abs(-0.35962262--0.35971849)×4.51153095267776e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51153095267776e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51153095267776e-05×40589641000000     		ar = 123498.93778499m²