Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29015 / 44523
↖ ↑ ↗
← S 54.094839°
W 20.615845°		 ← 358.23 m → S 54.094839°
W 20.610351°		 →
↑
358.18 m
↓
↑
358.18 m
↓
S 54.098060°
W 20.615845°		 ← 358.20 m →
128 305 m²		 S 54.098060°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442741394042969 y=0.679374694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442741394042969 × 216)
    floor (0.442741394042969 × 65536)
    floor (29015.5)     		tx = 29015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679374694824219 × 216)
    floor (0.679374694824219 × 65536)
    floor (44523.5)     		ty = 44523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29015 / 44523 ti = "16/29015/44523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29015/44523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29015 ÷ 216
    29015 ÷ 65536     		x = 0.442733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44523 ÷ 216
    44523 ÷ 65536     		y = 0.679367065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679367065429688 × 2 - 1) × π
    -0.358734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12699651006752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35981437} λ = -0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12699651006752))-π/2
    2×atan(0.324004942049312)-π/2
    2×0.31333164011763-π/2
    0.626663280235261-1.57079632675     		φ = -0.94413305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94413305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.094839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29015 KachelY 44523 -0.35981437 -0.94413305 -20.615845 -54.094839
    Oben rechts KachelX + 1 29016 KachelY 44523 -0.35971849 -0.94413305 -20.610351 -54.094839
    Unten links KachelX 29015 KachelY + 1 44524 -0.35981437 -0.94418927 -20.615845 -54.098060
    Unten rechts KachelX + 1 29016 KachelY + 1 44524 -0.35971849 -0.94418927 -20.610351 -54.098060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94413305--0.94418927) × R
    5.62199999999402e-05 × 6371000     		dl = 358.177619999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94413305--0.94418927) × R
    5.62199999999402e-05 × 6371000     		dr = 358.177619999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35981437--0.35971849) × cos(-0.94413305) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.586445319124118 × 6371000     		do = 358.230991126012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35981437--0.35971849) × cos(-0.94418927) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.586399780625925 × 6371000     		du = 358.203173866994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94413305)-sin(-0.94418927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586445319124118-0.586399780625925)×R²
    abs(-0.35971849--0.35981437)×4.55384981924434e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55384981924434e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55384981924434e-05×40589641000000     		ar = 128305.342085215m²