Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29015 / 44373
↖ ↑ ↗
← S 53.608804°
W 20.615845°		 ← 362.42 m → S 53.608804°
W 20.610351°		 →
↑
362.32 m
↓
↑
362.32 m
↓
S 53.612062°
W 20.615845°		 ← 362.39 m →
131 305 m²		 S 53.612062°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442741394042969 y=0.677085876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442741394042969 × 216)
    floor (0.442741394042969 × 65536)
    floor (29015.5)     		tx = 29015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677085876464844 × 216)
    floor (0.677085876464844 × 65536)
    floor (44373.5)     		ty = 44373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29015 / 44373 ti = "16/29015/44373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29015/44373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29015 ÷ 216
    29015 ÷ 65536     		x = 0.442733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44373 ÷ 216
    44373 ÷ 65536     		y = 0.677078247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677078247070312 × 2 - 1) × π
    -0.354156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1126154401815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35981437} λ = -0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1126154401815))-π/2
    2×atan(0.328698145522714)-π/2
    2×0.317573100649071-π/2
    0.635146201298142-1.57079632675     		φ = -0.93565013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93565013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.608804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29015 KachelY 44373 -0.35981437 -0.93565013 -20.615845 -53.608804
    Oben rechts KachelX + 1 29016 KachelY 44373 -0.35971849 -0.93565013 -20.610351 -53.608804
    Unten links KachelX 29015 KachelY + 1 44374 -0.35981437 -0.93570700 -20.615845 -53.612062
    Unten rechts KachelX + 1 29016 KachelY + 1 44374 -0.35971849 -0.93570700 -20.610351 -53.612062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93565013--0.93570700) × R
    5.68699999999867e-05 × 6371000     		dl = 362.318769999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93565013--0.93570700) × R
    5.68699999999867e-05 × 6371000     		dr = 362.318769999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35981437--0.35971849) × cos(-0.93565013) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.593295206917939 × 6371000     		do = 362.415255222702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35981437--0.35971849) × cos(-0.93570700) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.593249426463462 × 6371000     		du = 362.387290164329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93565013)-sin(-0.93570700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593295206917939-0.593249426463462)×R²
    abs(-0.35971849--0.35981437)×4.5780454477784e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5780454477784e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5780454477784e-05×40589641000000     		ar = 131304.783404138m²