Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29013 / 44891
↖ ↑ ↗
← S 55.263468°
W 20.626831°		 ← 348.07 m → S 55.263468°
W 20.621338°		 →
↑
347.98 m
↓
↑
347.98 m
↓
S 55.266598°
W 20.626831°		 ← 348.04 m →
121 116 m²		 S 55.266598°
W 20.621338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442710876464844 y=0.684989929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442710876464844 × 216)
    floor (0.442710876464844 × 65536)
    floor (29013.5)     		tx = 29013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684989929199219 × 216)
    floor (0.684989929199219 × 65536)
    floor (44891.5)     		ty = 44891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29013 / 44891 ti = "16/29013/44891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29013/44891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29013 ÷ 216
    29013 ÷ 65536     		x = 0.442703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44891 ÷ 216
    44891 ÷ 65536     		y = 0.684982299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442703247070312 × 2 - 1) × π
    -0.114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36000612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684982299804688 × 2 - 1) × π
    -0.369964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16227806818788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36000612} λ = -0.36000612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16227806818788))-π/2
    2×atan(0.312772850802369)-π/2
    2×0.303133424881949-π/2
    0.606266849763897-1.57079632675     		φ = -0.96452948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36000612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.626831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96452948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.263468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29013 KachelY 44891 -0.36000612 -0.96452948 -20.626831 -55.263468
    Oben rechts KachelX + 1 29014 KachelY 44891 -0.35991024 -0.96452948 -20.621338 -55.263468
    Unten links KachelX 29013 KachelY + 1 44892 -0.36000612 -0.96458410 -20.626831 -55.266598
    Unten rechts KachelX + 1 29014 KachelY + 1 44892 -0.35991024 -0.96458410 -20.621338 -55.266598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96452948--0.96458410) × R
    5.46200000000052e-05 × 6371000     		dl = 347.984020000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96452948--0.96458410) × R
    5.46200000000052e-05 × 6371000     		dr = 347.984020000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36000612--0.35991024) × cos(-0.96452948) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569803603723073 × 6371000     		do = 348.065374643546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36000612--0.35991024) × cos(-0.96458410) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569758717200191 × 6371000     		du = 348.037955644612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96452948)-sin(-0.96458410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569803603723073-0.569758717200191)×R²
    abs(-0.35991024--0.36000612)×4.48865228813711e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48865228813711e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48865228813711e-05×40589641000000     		ar = 121116.417634569m²