Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29011 / 45305
↖ ↑ ↗
← S 56.538287°
W 20.637817°		 ← 336.78 m → S 56.538287°
W 20.632324°		 →
↑
336.77 m
↓
↑
336.77 m
↓
S 56.541316°
W 20.637817°		 ← 336.75 m →
113 412 m²		 S 56.541316°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442680358886719 y=0.691307067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442680358886719 × 216)
    floor (0.442680358886719 × 65536)
    floor (29011.5)     		tx = 29011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691307067871094 × 216)
    floor (0.691307067871094 × 65536)
    floor (45305.5)     		ty = 45305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29011 / 45305 ti = "16/29011/45305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29011/45305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29011 ÷ 216
    29011 ÷ 65536     		x = 0.442672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45305 ÷ 216
    45305 ÷ 65536     		y = 0.691299438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442672729492188 × 2 - 1) × π
    -0.114654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36019786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691299438476562 × 2 - 1) × π
    -0.382598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20196982107329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36019786} λ = -0.36019786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20196982107329))-π/2
    2×atan(0.300601497169075)-π/2
    2×0.292008535346553-π/2
    0.584017070693107-1.57079632675     		φ = -0.98677926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36019786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98677926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.538287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29011 KachelY 45305 -0.36019786 -0.98677926 -20.637817 -56.538287
    Oben rechts KachelX + 1 29012 KachelY 45305 -0.36010199 -0.98677926 -20.632324 -56.538287
    Unten links KachelX 29011 KachelY + 1 45306 -0.36019786 -0.98683212 -20.637817 -56.541316
    Unten rechts KachelX + 1 29012 KachelY + 1 45306 -0.36010199 -0.98683212 -20.632324 -56.541316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98677926--0.98683212) × R
    5.28599999999324e-05 × 6371000     		dl = 336.771059999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98677926--0.98683212) × R
    5.28599999999324e-05 × 6371000     		dr = 336.771059999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36019786--0.36010199) × cos(-0.98677926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551379632413654 × 6371000     		do = 336.775936105348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36019786--0.36010199) × cos(-0.98683212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55133553295269 × 6371000     		du = 336.749000693928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98677926)-sin(-0.98683212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551379632413654-0.55133553295269)×R²
    abs(-0.36010199--0.36019786)×4.40994609646195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40994609646195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40994609646195e-05×40589641000000     		ar = 113411.853477341m²