Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29008 / 43795
↖ ↑ ↗
← S 51.682774°
W 20.654297°		 ← 378.74 m → S 51.682774°
W 20.648804°		 →
↑
378.69 m
↓
↑
378.69 m
↓
S 51.686179°
W 20.654297°		 ← 378.71 m →
143 419 m²		 S 51.686179°
W 20.648804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442634582519531 y=0.668266296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442634582519531 × 216)
    floor (0.442634582519531 × 65536)
    floor (29008.5)     		tx = 29008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668266296386719 × 216)
    floor (0.668266296386719 × 65536)
    floor (43795.5)     		ty = 43795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29008 / 43795 ti = "16/29008/43795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29008/43795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29008 ÷ 216
    29008 ÷ 65536     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43795 ÷ 216
    43795 ÷ 65536     		y = 0.668258666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668258666992188 × 2 - 1) × π
    -0.336517333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05720038422072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05720038422072))-π/2
    2×atan(0.347427112485492)-π/2
    2×0.334380878433735-π/2
    0.668761756867471-1.57079632675     		φ = -0.90203457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90203457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.682774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29008 KachelY 43795 -0.36048549 -0.90203457 -20.654297 -51.682774
    Oben rechts KachelX + 1 29009 KachelY 43795 -0.36038961 -0.90203457 -20.648804 -51.682774
    Unten links KachelX 29008 KachelY + 1 43796 -0.36048549 -0.90209401 -20.654297 -51.686179
    Unten rechts KachelX + 1 29009 KachelY + 1 43796 -0.36038961 -0.90209401 -20.648804 -51.686179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90203457--0.90209401) × R
    5.94400000000217e-05 × 6371000     		dl = 378.692240000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90203457--0.90209401) × R
    5.94400000000217e-05 × 6371000     		dr = 378.692240000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.36038961) × cos(-0.90203457) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620014949370636 × 6371000     		do = 378.737049445149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.36038961) × cos(-0.90209401) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619968312245982 × 6371000     		du = 378.708561088531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90203457)-sin(-0.90209401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620014949370636-0.619968312245982)×R²
    abs(-0.36038961--0.36048549)×4.66371246542474e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66371246542474e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66371246542474e-05×40589641000000     		ar = 143419.387507945m²