Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29007 / 44413
↖ ↑ ↗
← S 53.738965°
W 20.659790°		 ← 361.26 m → S 53.738965°
W 20.654297°		 →
↑
361.30 m
↓
↑
361.30 m
↓
S 53.742214°
W 20.659790°		 ← 361.23 m →
130 518 m²		 S 53.742214°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442619323730469 y=0.677696228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442619323730469 × 216)
    floor (0.442619323730469 × 65536)
    floor (29007.5)     		tx = 29007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677696228027344 × 216)
    floor (0.677696228027344 × 65536)
    floor (44413.5)     		ty = 44413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29007 / 44413 ti = "16/29007/44413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29007/44413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29007 ÷ 216
    29007 ÷ 65536     		x = 0.442611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44413 ÷ 216
    44413 ÷ 65536     		y = 0.677688598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442611694335938 × 2 - 1) × π
    -0.114776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36058136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677688598632812 × 2 - 1) × π
    -0.355377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11645039215111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36058136} λ = -0.36058136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11645039215111))-π/2
    2×atan(0.327440017893575)-π/2
    2×0.316437226478776-π/2
    0.632874452957552-1.57079632675     		φ = -0.93792187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36058136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.659790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93792187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.738965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29007 KachelY 44413 -0.36058136 -0.93792187 -20.659790 -53.738965
    Oben rechts KachelX + 1 29008 KachelY 44413 -0.36048549 -0.93792187 -20.654297 -53.738965
    Unten links KachelX 29007 KachelY + 1 44414 -0.36058136 -0.93797858 -20.659790 -53.742214
    Unten rechts KachelX + 1 29008 KachelY + 1 44414 -0.36048549 -0.93797858 -20.654297 -53.742214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93792187--0.93797858) × R
    5.67099999999598e-05 × 6371000     		dl = 361.299409999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93792187--0.93797858) × R
    5.67099999999598e-05 × 6371000     		dr = 361.299409999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36058136--0.36048549) × cos(-0.93792187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591464961002377 × 6371000     		do = 361.259564563771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36058136--0.36048549) × cos(-0.93797858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591419233037247 × 6371000     		du = 361.231634481922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93792187)-sin(-0.93797858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591464961002377-0.591419233037247)×R²
    abs(-0.36048549--0.36058136)×4.5727965130582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5727965130582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5727965130582e-05×40589641000000     		ar = 130517.822007278m²