Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29004 / 44715
↖ ↑ ↗
← S 54.708755°
W 20.676270°		 ← 352.87 m → S 54.708755°
W 20.670777°		 →
↑
352.89 m
↓
↑
352.89 m
↓
S 54.711929°
W 20.676270°		 ← 352.84 m →
124 520 m²		 S 54.711929°
W 20.670777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442573547363281 y=0.682304382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442573547363281 × 216)
    floor (0.442573547363281 × 65536)
    floor (29004.5)     		tx = 29004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682304382324219 × 216)
    floor (0.682304382324219 × 65536)
    floor (44715.5)     		ty = 44715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29004 / 44715 ti = "16/29004/44715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29004/44715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29004 ÷ 216
    29004 ÷ 65536     		x = 0.44256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44715 ÷ 216
    44715 ÷ 65536     		y = 0.682296752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682296752929688 × 2 - 1) × π
    -0.364593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14540427952162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36086898} λ = -0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14540427952162))-π/2
    2×atan(0.318095292379228)-π/2
    2×0.307974207786715-π/2
    0.61594841557343-1.57079632675     		φ = -0.95484791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95484791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.708755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29004 KachelY 44715 -0.36086898 -0.95484791 -20.676270 -54.708755
    Oben rechts KachelX + 1 29005 KachelY 44715 -0.36077311 -0.95484791 -20.670777 -54.708755
    Unten links KachelX 29004 KachelY + 1 44716 -0.36086898 -0.95490330 -20.676270 -54.711929
    Unten rechts KachelX + 1 29005 KachelY + 1 44716 -0.36077311 -0.95490330 -20.670777 -54.711929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95484791--0.95490330) × R
    5.53899999999885e-05 × 6371000     		dl = 352.889689999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95484791--0.95490330) × R
    5.53899999999885e-05 × 6371000     		dr = 352.889689999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36086898--0.36077311) × cos(-0.95484791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577732904338467 × 6371000     		do = 352.872192296508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36086898--0.36077311) × cos(-0.95490330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577687692700602 × 6371000     		du = 352.844577581038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95484791)-sin(-0.95490330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577732904338467-0.577687692700602)×R²
    abs(-0.36077311--0.36086898)×4.52116378651946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52116378651946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52116378651946e-05×40589641000000     		ar = 124520.086106964m²