Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29000 / 44908
↖ ↑ ↗
← S 55.316643°
W 20.698242°		 ← 347.60 m → S 55.316643°
W 20.692749°		 →
↑
347.60 m
↓
↑
347.60 m
↓
S 55.319769°
W 20.698242°		 ← 347.57 m →
120 821 m²		 S 55.319769°
W 20.692749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442512512207031 y=0.685249328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442512512207031 × 216)
    floor (0.442512512207031 × 65536)
    floor (29000.5)     		tx = 29000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685249328613281 × 216)
    floor (0.685249328613281 × 65536)
    floor (44908.5)     		ty = 44908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29000 / 44908 ti = "16/29000/44908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29000/44908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29000 ÷ 216
    29000 ÷ 65536     		x = 0.4425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44908 ÷ 216
    44908 ÷ 65536     		y = 0.68524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.3704833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16390792277496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36125248} λ = -0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16390792277496))-π/2
    2×atan(0.312263491740132)-π/2
    2×0.302669387269513-π/2
    0.605338774539025-1.57079632675     		φ = -0.96545755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96545755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.316643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29000 KachelY 44908 -0.36125248 -0.96545755 -20.698242 -55.316643
    Oben rechts KachelX + 1 29001 KachelY 44908 -0.36115660 -0.96545755 -20.692749 -55.316643
    Unten links KachelX 29000 KachelY + 1 44909 -0.36125248 -0.96551211 -20.698242 -55.319769
    Unten rechts KachelX + 1 29001 KachelY + 1 44909 -0.36115660 -0.96551211 -20.692749 -55.319769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96545755--0.96551211) × R
    5.45600000000368e-05 × 6371000     		dl = 347.601760000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96545755--0.96551211) × R
    5.45600000000368e-05 × 6371000     		dr = 347.601760000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36125248--0.36115660) × cos(-0.96545755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569040688239671 × 6371000     		do = 347.599346591395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36125248--0.36115660) × cos(-0.96551211) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568995822193669 × 6371000     		du = 347.571940100793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96545755)-sin(-0.96551211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569040688239671-0.568995822193669)×R²
    abs(-0.36115660--0.36125248)×4.48660460019568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48660460019568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48660460019568e-05×40589641000000     		ar = 120821.381408171m²