Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28992 / 46016
↖ ↑ ↗
← S 58.631216°
W 20.742188°		 ← 317.98 m → S 58.631216°
W 20.736694°		 →
↑
317.98 m
↓
↑
317.98 m
↓
S 58.634076°
W 20.742188°		 ← 317.95 m →
101 105 m²		 S 58.634076°
W 20.736694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442390441894531 y=0.702156066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442390441894531 × 216)
    floor (0.442390441894531 × 65536)
    floor (28992.5)     		tx = 28992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.702156066894531 × 216)
    floor (0.702156066894531 × 65536)
    floor (46016.5)     		ty = 46016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28992 / 46016 ti = "16/28992/46016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28992/46016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28992 ÷ 216
    28992 ÷ 65536     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46016 ÷ 216
    46016 ÷ 65536     		y = 0.7021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7021484375 × 2 - 1) × π
    -0.404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.27013609233301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.27013609233301))-π/2
    2×atan(0.28079340534833)-π/2
    2×0.273744275967967-π/2
    0.547488551935933-1.57079632675     		φ = -1.02330777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02330777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.631216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28992 KachelY 46016 -0.36201947 -1.02330777 -20.742188 -58.631216
    Oben rechts KachelX + 1 28993 KachelY 46016 -0.36192359 -1.02330777 -20.736694 -58.631216
    Unten links KachelX 28992 KachelY + 1 46017 -0.36201947 -1.02335768 -20.742188 -58.634076
    Unten rechts KachelX + 1 28993 KachelY + 1 46017 -0.36192359 -1.02335768 -20.736694 -58.634076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02330777--1.02335768) × R
    4.99099999999864e-05 × 6371000     		dl = 317.976609999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02330777--1.02335768) × R
    4.99099999999864e-05 × 6371000     		dr = 317.976609999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36192359) × cos(-1.02330777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.520544515879301 × 6371000     		do = 317.97538793073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36192359) × cos(-1.02335768) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.520501900349517 × 6371000     		du = 317.949356171291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02330777)-sin(-1.02335768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520544515879301-0.520501900349517)×R²
    abs(-0.36192359--0.36201947)×4.26155297841291e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26155297841291e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26155297841291e-05×40589641000000     		ar = 101104.597193305m²