Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28992 / 45252
↖ ↑ ↗
← S 56.377419°
W 20.742188°		 ← 338.24 m → S 56.377419°
W 20.736694°		 →
↑
338.24 m
↓
↑
338.24 m
↓
S 56.380461°
W 20.742188°		 ← 338.21 m →
114 401 m²		 S 56.380461°
W 20.736694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442390441894531 y=0.690498352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442390441894531 × 216)
    floor (0.442390441894531 × 65536)
    floor (28992.5)     		tx = 28992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690498352050781 × 216)
    floor (0.690498352050781 × 65536)
    floor (45252.5)     		ty = 45252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28992 / 45252 ti = "16/28992/45252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28992/45252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28992 ÷ 216
    28992 ÷ 65536     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45252 ÷ 216
    45252 ÷ 65536     		y = 0.69049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.3809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19688850971356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19688850971356))-π/2
    2×atan(0.302132834276821)-π/2
    2×0.293412372717018-π/2
    0.586824745434035-1.57079632675     		φ = -0.98397158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98397158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.377419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28992 KachelY 45252 -0.36201947 -0.98397158 -20.742188 -56.377419
    Oben rechts KachelX + 1 28993 KachelY 45252 -0.36192359 -0.98397158 -20.736694 -56.377419
    Unten links KachelX 28992 KachelY + 1 45253 -0.36201947 -0.98402467 -20.742188 -56.380461
    Unten rechts KachelX + 1 28993 KachelY + 1 45253 -0.36192359 -0.98402467 -20.736694 -56.380461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98397158--0.98402467) × R
    5.30900000000889e-05 × 6371000     		dl = 338.236390000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98397158--0.98402467) × R
    5.30900000000889e-05 × 6371000     		dr = 338.236390000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36192359) × cos(-0.98397158) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553719775613438 × 6371000     		do = 338.240544438711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36192359) × cos(-0.98402467) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553675566626897 × 6371000     		du = 338.213539313852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98397158)-sin(-0.98402467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553719775613438-0.553675566626897)×R²
    abs(-0.36192359--0.36201947)×4.42089865414497e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42089865414497e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42089865414497e-05×40589641000000     		ar = 114400.693671476m²