Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28991 / 45246
↖ ↑ ↗
← S 56.359164°
W 20.747681°		 ← 338.37 m → S 56.359164°
W 20.742188°		 →
↑
338.36 m
↓
↑
338.36 m
↓
S 56.362207°
W 20.747681°		 ← 338.34 m →
114 487 m²		 S 56.362207°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442375183105469 y=0.690406799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442375183105469 × 216)
    floor (0.442375183105469 × 65536)
    floor (28991.5)     		tx = 28991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690406799316406 × 216)
    floor (0.690406799316406 × 65536)
    floor (45246.5)     		ty = 45246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28991 / 45246 ti = "16/28991/45246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28991/45246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28991 ÷ 216
    28991 ÷ 65536     		x = 0.442367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45246 ÷ 216
    45246 ÷ 65536     		y = 0.690399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442367553710938 × 2 - 1) × π
    -0.115264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36211534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.38079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19631326691812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36211534} λ = -0.36211534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19631326691812))-π/2
    2×atan(0.302306684011114)-π/2
    2×0.293571672519575-π/2
    0.58714334503915-1.57079632675     		φ = -0.98365298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36211534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.747681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98365298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.359164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28991 KachelY 45246 -0.36211534 -0.98365298 -20.747681 -56.359164
    Oben rechts KachelX + 1 28992 KachelY 45246 -0.36201947 -0.98365298 -20.742188 -56.359164
    Unten links KachelX 28991 KachelY + 1 45247 -0.36211534 -0.98370609 -20.747681 -56.362207
    Unten rechts KachelX + 1 28992 KachelY + 1 45247 -0.36201947 -0.98370609 -20.742188 -56.362207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98365298--0.98370609) × R
    5.31099999999673e-05 × 6371000     		dl = 338.363809999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98365298--0.98370609) × R
    5.31099999999673e-05 × 6371000     		dr = 338.363809999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36211534--0.36201947) × cos(-0.98365298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553985046705521 × 6371000     		do = 338.367291290604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36211534--0.36201947) × cos(-0.98370609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553940830435608 × 6371000     		du = 338.340284533706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98365298)-sin(-0.98370609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553985046705521-0.553940830435608)×R²
    abs(-0.36201947--0.36211534)×4.42162699134663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42162699134663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42162699134663e-05×40589641000000     		ar = 114486.676832628m²