Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28988 / 44392
↖ ↑ ↗
← S 53.670680°
W 20.764160°		 ← 361.85 m → S 53.670680°
W 20.758667°		 →
↑
361.87 m
↓
↑
361.87 m
↓
S 53.673935°
W 20.764160°		 ← 361.82 m →
130 937 m²		 S 53.673935°
W 20.758667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442329406738281 y=0.677375793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442329406738281 × 216)
    floor (0.442329406738281 × 65536)
    floor (28988.5)     		tx = 28988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677375793457031 × 216)
    floor (0.677375793457031 × 65536)
    floor (44392.5)     		ty = 44392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28988 / 44392 ti = "16/28988/44392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28988/44392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28988 ÷ 216
    28988 ÷ 65536     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44392 ÷ 216
    44392 ÷ 65536     		y = 0.6773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11443704236707))-π/2
    2×atan(0.328099933280221)-π/2
    2×0.317033122826381-π/2
    0.634066245652762-1.57079632675     		φ = -0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28988 KachelY 44392 -0.36240296 -0.93673008 -20.764160 -53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 28989 KachelY 44392 -0.36230709 -0.93673008 -20.758667 -53.670680
    Unten links KachelX 28988 KachelY + 1 44393 -0.36240296 -0.93678688 -20.764160 -53.673935
    Unten rechts KachelX + 1 28989 KachelY + 1 44393 -0.36230709 -0.93678688 -20.758667 -53.673935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93673008--0.93678688) × R
    5.6799999999968e-05 × 6371000     		dl = 361.872799999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93673008--0.93678688) × R
    5.6799999999968e-05 × 6371000     		dr = 361.872799999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36230709) × cos(-0.93673008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 361.846260782255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36230709) × cos(-0.93678688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59237975712537 × 6371000     		du = 361.818310847738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93673008)-sin(-0.93678688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.59237975712537)×R²
    abs(-0.36230709--0.36240296)×4.57604685127899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57604685127899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57604685127899e-05×40589641000000     		ar = 130937.262433703m²