Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28986 / 44353
↖ ↑ ↗
← S 53.543572°
W 20.775147°		 ← 362.97 m → S 53.543572°
W 20.769653°		 →
↑
362.96 m
↓
↑
362.96 m
↓
S 53.546836°
W 20.775147°		 ← 362.95 m →
131 739 m²		 S 53.546836°
W 20.769653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442298889160156 y=0.676780700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442298889160156 × 216)
    floor (0.442298889160156 × 65536)
    floor (28986.5)     		tx = 28986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676780700683594 × 216)
    floor (0.676780700683594 × 65536)
    floor (44353.5)     		ty = 44353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28986 / 44353 ti = "16/28986/44353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28986/44353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28986 ÷ 216
    28986 ÷ 65536     		x = 0.442291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44353 ÷ 216
    44353 ÷ 65536     		y = 0.676773071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.11541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36259471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676773071289062 × 2 - 1) × π
    -0.353546142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1106979641967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36259471} λ = -0.36259471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1106979641967))-π/2
    2×atan(0.32932902097397)-π/2
    2×0.318142354405054-π/2
    0.636284708810108-1.57079632675     		φ = -0.93451162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36259471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.775147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93451162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.543572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28986 KachelY 44353 -0.36259471 -0.93451162 -20.775147 -53.543572
    Oben rechts KachelX + 1 28987 KachelY 44353 -0.36249883 -0.93451162 -20.769653 -53.543572
    Unten links KachelX 28986 KachelY + 1 44354 -0.36259471 -0.93456859 -20.775147 -53.546836
    Unten rechts KachelX + 1 28987 KachelY + 1 44354 -0.36249883 -0.93456859 -20.769653 -53.546836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93451162--0.93456859) × R
    5.6970000000045e-05 × 6371000     		dl = 362.955870000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93451162--0.93456859) × R
    5.6970000000045e-05 × 6371000     		dr = 362.955870000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36259471--0.36249883) × cos(-0.93451162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.594211305638905 × 6371000     		do = 362.974855482229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36259471--0.36249883) × cos(-0.93456859) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.59416548319245 × 6371000     		du = 362.946864772995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93451162)-sin(-0.93456859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594211305638905-0.59416548319245)×R²
    abs(-0.36249883--0.36259471)×4.58224464546797e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58224464546797e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58224464546797e-05×40589641000000     		ar = 131738.774799243m²