Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28985 / 44797
↖ ↑ ↗
← S 54.968155°
W 20.780640°		 ← 350.61 m → S 54.968155°
W 20.775147°		 →
↑
350.60 m
↓
↑
350.60 m
↓
S 54.971308°
W 20.780640°		 ← 350.58 m →
122 918 m²		 S 54.971308°
W 20.775147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442283630371094 y=0.683555603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442283630371094 × 216)
    floor (0.442283630371094 × 65536)
    floor (28985.5)     		tx = 28985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683555603027344 × 216)
    floor (0.683555603027344 × 65536)
    floor (44797.5)     		ty = 44797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28985 / 44797 ti = "16/28985/44797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28985/44797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28985 ÷ 216
    28985 ÷ 65536     		x = 0.442276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44797 ÷ 216
    44797 ÷ 65536     		y = 0.683547973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442276000976562 × 2 - 1) × π
    -0.115447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36269058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683547973632812 × 2 - 1) × π
    -0.367095947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15326593105931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36269058} λ = -0.36269058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15326593105931))-π/2
    2×atan(0.315604342354842)-π/2
    2×0.305710518854862-π/2
    0.611421037709723-1.57079632675     		φ = -0.95937529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36269058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.780640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95937529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.968155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28985 KachelY 44797 -0.36269058 -0.95937529 -20.780640 -54.968155
    Oben rechts KachelX + 1 28986 KachelY 44797 -0.36259471 -0.95937529 -20.775147 -54.968155
    Unten links KachelX 28985 KachelY + 1 44798 -0.36269058 -0.95943032 -20.780640 -54.971308
    Unten rechts KachelX + 1 28986 KachelY + 1 44798 -0.36259471 -0.95943032 -20.775147 -54.971308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95937529--0.95943032) × R
    5.50299999999559e-05 × 6371000     		dl = 350.596129999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95937529--0.95943032) × R
    5.50299999999559e-05 × 6371000     		dr = 350.596129999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36269058--0.36259471) × cos(-0.95937529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574031631292111 × 6371000     		do = 350.611499986363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36269058--0.36259471) × cos(-0.95943032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573986570036106 × 6371000     		du = 350.583977122294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95937529)-sin(-0.95943032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574031631292111-0.573986570036106)×R²
    abs(-0.36259471--0.36269058)×4.5061256005452e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5061256005452e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5061256005452e-05×40589641000000     		ar = 122918.210354699m²