Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28983 / 44398
↖ ↑ ↗
← S 53.690201°
W 20.791626°		 ← 361.68 m → S 53.690201°
W 20.786133°		 →
↑
361.68 m
↓
↑
361.68 m
↓
S 53.693454°
W 20.791626°		 ← 361.65 m →
130 807 m²		 S 53.693454°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442253112792969 y=0.677467346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442253112792969 × 216)
    floor (0.442253112792969 × 65536)
    floor (28983.5)     		tx = 28983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677467346191406 × 216)
    floor (0.677467346191406 × 65536)
    floor (44398.5)     		ty = 44398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28983 / 44398 ti = "16/28983/44398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28983/44398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28983 ÷ 216
    28983 ÷ 65536     		x = 0.442245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44398 ÷ 216
    44398 ÷ 65536     		y = 0.677459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    -0.115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36288233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.35491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11501228516251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36288233} λ = -0.36288233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11501228516251))-π/2
    2×atan(0.327911250431844)-π/2
    2×0.316862768051342-π/2
    0.633725536102684-1.57079632675     		φ = -0.93707079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36288233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93707079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.690201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28983 KachelY 44398 -0.36288233 -0.93707079 -20.791626 -53.690201
    Oben rechts KachelX + 1 28984 KachelY 44398 -0.36278646 -0.93707079 -20.786133 -53.690201
    Unten links KachelX 28983 KachelY + 1 44399 -0.36288233 -0.93712756 -20.791626 -53.693454
    Unten rechts KachelX + 1 28984 KachelY + 1 44399 -0.36278646 -0.93712756 -20.786133 -53.693454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93707079--0.93712756) × R
    5.67699999999283e-05 × 6371000     		dl = 361.681669999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93707079--0.93712756) × R
    5.67699999999283e-05 × 6371000     		dr = 361.681669999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36288233--0.36278646) × cos(-0.93707079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592150998642804 × 6371000     		do = 361.678587964304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36288233--0.36278646) × cos(-0.93712756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592105250888397 × 6371000     		du = 361.650645795407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93707079)-sin(-0.93712756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592150998642804-0.592105250888397)×R²
    abs(-0.36278646--0.36288233)×4.57477544070217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57477544070217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57477544070217e-05×40589641000000     		ar = 130807.462648118m²