Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28981 / 44399
↖ ↑ ↗
← S 53.693454°
W 20.802612°		 ← 361.69 m → S 53.693454°
W 20.797119°		 →
↑
361.68 m
↓
↑
361.68 m
↓
S 53.696707°
W 20.802612°		 ← 361.66 m →
130 811 m²		 S 53.696707°
W 20.797119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442222595214844 y=0.677482604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442222595214844 × 216)
    floor (0.442222595214844 × 65536)
    floor (28981.5)     		tx = 28981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677482604980469 × 216)
    floor (0.677482604980469 × 65536)
    floor (44399.5)     		ty = 44399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28981 / 44399 ti = "16/28981/44399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28981/44399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28981 ÷ 216
    28981 ÷ 65536     		x = 0.442214965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44399 ÷ 216
    44399 ÷ 65536     		y = 0.677474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442214965820312 × 2 - 1) × π
    -0.115570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36307408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.354949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11510815896175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36307408} λ = -0.36307408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11510815896175))-π/2
    2×atan(0.327879813841449)-π/2
    2×0.316834383264888-π/2
    0.633668766529776-1.57079632675     		φ = -0.93712756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36307408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.802612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93712756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.693454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28981 KachelY 44399 -0.36307408 -0.93712756 -20.802612 -53.693454
    Oben rechts KachelX + 1 28982 KachelY 44399 -0.36297820 -0.93712756 -20.797119 -53.693454
    Unten links KachelX 28981 KachelY + 1 44400 -0.36307408 -0.93718433 -20.802612 -53.696707
    Unten rechts KachelX + 1 28982 KachelY + 1 44400 -0.36297820 -0.93718433 -20.797119 -53.696707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93712756--0.93718433) × R
    5.67700000000393e-05 × 6371000     		dl = 361.68167000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93712756--0.93718433) × R
    5.67700000000393e-05 × 6371000     		dr = 361.68167000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36307408--0.36297820) × cos(-0.93712756) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.592105250888397 × 6371000     		do = 361.68836882113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36307408--0.36297820) × cos(-0.93718433) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.592059501225734 × 6371000     		du = 361.660422571983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93712756)-sin(-0.93718433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592105250888397-0.592059501225734)×R²
    abs(-0.36297820--0.36307408)×4.57496626635745e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.57496626635745e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.57496626635745e-05×40589641000000     		ar = 130810.999466974m²