Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28980 / 44904
↖ ↑ ↗
← S 55.304138°
W 20.808105°		 ← 347.67 m → S 55.304138°
W 20.802612°		 →
↑
347.67 m
↓
↑
347.67 m
↓
S 55.307264°
W 20.808105°		 ← 347.65 m →
120 869 m²		 S 55.307264°
W 20.802612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442207336425781 y=0.685188293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442207336425781 × 216)
    floor (0.442207336425781 × 65536)
    floor (28980.5)     		tx = 28980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685188293457031 × 216)
    floor (0.685188293457031 × 65536)
    floor (44904.5)     		ty = 44904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28980 / 44904 ti = "16/28980/44904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28980/44904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28980 ÷ 216
    28980 ÷ 65536     		x = 0.44219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44904 ÷ 216
    44904 ÷ 65536     		y = 0.6851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36316995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.163524427578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36316995} λ = -0.36316995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.163524427578))-π/2
    2×atan(0.312383266254408)-π/2
    2×0.302778516659863-π/2
    0.605557033319725-1.57079632675     		φ = -0.96523929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36316995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.808105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96523929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.304138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28980 KachelY 44904 -0.36316995 -0.96523929 -20.808105 -55.304138
    Oben rechts KachelX + 1 28981 KachelY 44904 -0.36307408 -0.96523929 -20.802612 -55.304138
    Unten links KachelX 28980 KachelY + 1 44905 -0.36316995 -0.96529386 -20.808105 -55.307264
    Unten rechts KachelX + 1 28981 KachelY + 1 44905 -0.36307408 -0.96529386 -20.802612 -55.307264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96523929--0.96529386) × R
    5.4569999999976e-05 × 6371000     		dl = 347.665469999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96523929--0.96529386) × R
    5.4569999999976e-05 × 6371000     		dr = 347.665469999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36316995--0.36307408) × cos(-0.96523929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56922015192688 × 6371000     		do = 347.672707234472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36316995--0.36307408) × cos(-0.96529386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.569175284435805 × 6371000     		du = 347.645302719653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96523929)-sin(-0.96529386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56922015192688-0.569175284435805)×R²
    abs(-0.36307408--0.36316995)×4.4867491074907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4867491074907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4867491074907e-05×40589641000000     		ar = 120869.031394855m²