Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28973 / 44924
↖ ↑ ↗
← S 55.366625°
W 20.846558°		 ← 347.16 m → S 55.366625°
W 20.841064°		 →
↑
347.09 m
↓
↑
347.09 m
↓
S 55.369746°
W 20.846558°		 ← 347.13 m →
120 492 m²		 S 55.369746°
W 20.841064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442100524902344 y=0.685493469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442100524902344 × 216)
    floor (0.442100524902344 × 65536)
    floor (28973.5)     		tx = 28973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685493469238281 × 216)
    floor (0.685493469238281 × 65536)
    floor (44924.5)     		ty = 44924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28973 / 44924 ti = "16/28973/44924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28973/44924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28973 ÷ 216
    28973 ÷ 65536     		x = 0.442092895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44924 ÷ 216
    44924 ÷ 65536     		y = 0.68548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442092895507812 × 2 - 1) × π
    -0.115814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36384107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16544190356281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36384107} λ = -0.36384107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16544190356281))-π/2
    2×atan(0.311784852748424)-π/2
    2×0.302233213738636-π/2
    0.604466427477272-1.57079632675     		φ = -0.96632990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36384107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.846558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96632990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.366625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28973 KachelY 44924 -0.36384107 -0.96632990 -20.846558 -55.366625
    Oben rechts KachelX + 1 28974 KachelY 44924 -0.36374519 -0.96632990 -20.841064 -55.366625
    Unten links KachelX 28973 KachelY + 1 44925 -0.36384107 -0.96638438 -20.846558 -55.369746
    Unten rechts KachelX + 1 28974 KachelY + 1 44925 -0.36374519 -0.96638438 -20.841064 -55.369746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96632990--0.96638438) × R
    5.44800000000789e-05 × 6371000     		dl = 347.092080000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96632990--0.96638438) × R
    5.44800000000789e-05 × 6371000     		dr = 347.092080000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36384107--0.36374519) × cos(-0.96632990) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568323130235903 × 6371000     		do = 347.161025222807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36384107--0.36374519) × cos(-0.96638438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56827830295123 × 6371000     		du = 347.133642409621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96632990)-sin(-0.96638438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568323130235903-0.56827830295123)×R²
    abs(-0.36374519--0.36384107)×4.48272846724773e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48272846724773e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48272846724773e-05×40589641000000     		ar = 120492.090190941m²