Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28968 / 44360
↖ ↑ ↗
← S 53.566414°
W 20.874024°		 ← 362.78 m → S 53.566414°
W 20.868530°		 →
↑
362.70 m
↓
↑
362.70 m
↓
S 53.569676°
W 20.874024°		 ← 362.75 m →
131 575 m²		 S 53.569676°
W 20.868530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442024230957031 y=0.676887512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442024230957031 × 216)
    floor (0.442024230957031 × 65536)
    floor (28968.5)     		tx = 28968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676887512207031 × 216)
    floor (0.676887512207031 × 65536)
    floor (44360.5)     		ty = 44360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28968 / 44360 ti = "16/28968/44360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28968/44360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28968 ÷ 216
    28968 ÷ 65536     		x = 0.4420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44360 ÷ 216
    44360 ÷ 65536     		y = 0.6768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36432044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36432044} λ = -0.36432044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11136908079138))-π/2
    2×atan(0.329108076950778)-π/2
    2×0.317943015680689-π/2
    0.635886031361378-1.57079632675     		φ = -0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36432044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.874024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28968 KachelY 44360 -0.36432044 -0.93491030 -20.874024 -53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 28969 KachelY 44360 -0.36422456 -0.93491030 -20.868530 -53.566414
    Unten links KachelX 28968 KachelY + 1 44361 -0.36432044 -0.93496723 -20.874024 -53.569676
    Unten rechts KachelX + 1 28969 KachelY + 1 44361 -0.36422456 -0.93496723 -20.868530 -53.569676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93491030--0.93496723) × R
    5.69300000000661e-05 × 6371000     		dl = 362.701030000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93491030--0.93496723) × R
    5.69300000000661e-05 × 6371000     		dr = 362.701030000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36432044--0.36422456) × cos(-0.93491030) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 362.778949843922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36432044--0.36422456) × cos(-0.93496723) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.593844792767006 × 6371000     		du = 362.750970552201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93491030)-sin(-0.93496723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.593844792767006)×R²
    abs(-0.36422456--0.36432044)×4.58037553094925e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.58037553094925e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.58037553094925e-05×40589641000000     		ar = 131575.224747491m²