Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28967 / 44921
↖ ↑ ↗
← S 55.357258°
W 20.879517°		 ← 347.21 m → S 55.357258°
W 20.874024°		 →
↑
347.22 m
↓
↑
347.22 m
↓
S 55.360381°
W 20.879517°		 ← 347.18 m →
120 552 m²		 S 55.360381°
W 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442008972167969 y=0.685447692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442008972167969 × 216)
    floor (0.442008972167969 × 65536)
    floor (28967.5)     		tx = 28967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685447692871094 × 216)
    floor (0.685447692871094 × 65536)
    floor (44921.5)     		ty = 44921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28967 / 44921 ti = "16/28967/44921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28967/44921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28967 ÷ 216
    28967 ÷ 65536     		x = 0.442001342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44921 ÷ 216
    44921 ÷ 65536     		y = 0.685440063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442001342773438 × 2 - 1) × π
    -0.115997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36441631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685440063476562 × 2 - 1) × π
    -0.370880126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16515428216508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36441631} λ = -0.36441631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16515428216508))-π/2
    2×atan(0.311874541641164)-π/2
    2×0.302314954356731-π/2
    0.604629908713462-1.57079632675     		φ = -0.96616642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36441631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.879517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96616642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.357258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28967 KachelY 44921 -0.36441631 -0.96616642 -20.879517 -55.357258
    Oben rechts KachelX + 1 28968 KachelY 44921 -0.36432044 -0.96616642 -20.874024 -55.357258
    Unten links KachelX 28967 KachelY + 1 44922 -0.36441631 -0.96622092 -20.879517 -55.360381
    Unten rechts KachelX + 1 28968 KachelY + 1 44922 -0.36432044 -0.96622092 -20.874024 -55.360381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96616642--0.96622092) × R
    5.45000000000684e-05 × 6371000     		dl = 347.219500000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96616642--0.96622092) × R
    5.45000000000684e-05 × 6371000     		dr = 347.219500000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36441631--0.36432044) × cos(-0.96616642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568457634876952 × 6371000     		do = 347.20697114596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36441631--0.36432044) × cos(-0.96622092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568412796199516 × 6371000     		du = 347.179584230159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96616642)-sin(-0.96622092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568457634876952-0.568412796199516)×R²
    abs(-0.36432044--0.36441631)×4.48386774356546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48386774356546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48386774356546e-05×40589641000000     		ar = 120552.276312379m²