Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28967 / 44359
↖ ↑ ↗
← S 53.563151°
W 20.879517°		 ← 362.77 m → S 53.563151°
W 20.874024°		 →
↑
362.83 m
↓
↑
362.83 m
↓
S 53.566414°
W 20.879517°		 ← 362.74 m →
131 618 m²		 S 53.566414°
W 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442008972167969 y=0.676872253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442008972167969 × 216)
    floor (0.442008972167969 × 65536)
    floor (28967.5)     		tx = 28967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676872253417969 × 216)
    floor (0.676872253417969 × 65536)
    floor (44359.5)     		ty = 44359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28967 / 44359 ti = "16/28967/44359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28967/44359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28967 ÷ 216
    28967 ÷ 65536     		x = 0.442001342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44359 ÷ 216
    44359 ÷ 65536     		y = 0.676864624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442001342773438 × 2 - 1) × π
    -0.115997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36441631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676864624023438 × 2 - 1) × π
    -0.353729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11127320699214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36441631} λ = -0.36441631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11127320699214))-π/2
    2×atan(0.329139631305069)-π/2
    2×0.317971486052775-π/2
    0.635942972105551-1.57079632675     		φ = -0.93485335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36441631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.879517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93485335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.563151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28967 KachelY 44359 -0.36441631 -0.93485335 -20.879517 -53.563151
    Oben rechts KachelX + 1 28968 KachelY 44359 -0.36432044 -0.93485335 -20.874024 -53.563151
    Unten links KachelX 28967 KachelY + 1 44360 -0.36441631 -0.93491030 -20.879517 -53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 28968 KachelY + 1 44360 -0.36432044 -0.93491030 -20.874024 -53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93485335--0.93491030) × R
    5.69499999999445e-05 × 6371000     		dl = 362.828449999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93485335--0.93491030) × R
    5.69499999999445e-05 × 6371000     		dr = 362.828449999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36441631--0.36432044) × cos(-0.93485335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59393641444305 × 6371000     		do = 362.769098099459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36441631--0.36432044) × cos(-0.93491030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 362.741113073827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93485335)-sin(-0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59393641444305-0.593890596522316)×R²
    abs(-0.36432044--0.36441631)×4.58179207348808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58179207348808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58179207348808e-05×40589641000000     		ar = 131617.872725116m²