Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28963 / 44925
↖ ↑ ↗
← S 55.369746°
W 20.901489°		 ← 347.13 m → S 55.369746°
W 20.895996°		 →
↑
347.16 m
↓
↑
347.16 m
↓
S 55.372868°
W 20.901489°		 ← 347.11 m →
120 505 m²		 S 55.372868°
W 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441947937011719 y=0.685508728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441947937011719 × 216)
    floor (0.441947937011719 × 65536)
    floor (28963.5)     		tx = 28963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685508728027344 × 216)
    floor (0.685508728027344 × 65536)
    floor (44925.5)     		ty = 44925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28963 / 44925 ti = "16/28963/44925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28963/44925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28963 ÷ 216
    28963 ÷ 65536     		x = 0.441940307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44925 ÷ 216
    44925 ÷ 65536     		y = 0.685501098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441940307617188 × 2 - 1) × π
    -0.116119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36479981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685501098632812 × 2 - 1) × π
    -0.371002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16553777736205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36479981} λ = -0.36479981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16553777736205))-π/2
    2×atan(0.31175496218293)-π/2
    2×0.302205971164313-π/2
    0.604411942328625-1.57079632675     		φ = -0.96638438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36479981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.901489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96638438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.369746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28963 KachelY 44925 -0.36479981 -0.96638438 -20.901489 -55.369746
    Oben rechts KachelX + 1 28964 KachelY 44925 -0.36470393 -0.96638438 -20.895996 -55.369746
    Unten links KachelX 28963 KachelY + 1 44926 -0.36479981 -0.96643887 -20.901489 -55.372868
    Unten rechts KachelX + 1 28964 KachelY + 1 44926 -0.36470393 -0.96643887 -20.895996 -55.372868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96638438--0.96643887) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dl = 347.155789999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96638438--0.96643887) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dr = 347.155789999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36479981--0.36470393) × cos(-0.96638438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56827830295123 × 6371000     		do = 347.133642409621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36479981--0.36470393) × cos(-0.96643887) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568233465751194 × 6371000     		du = 347.10625353962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96638438)-sin(-0.96643887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56827830295123-0.568233465751194)×R²
    abs(-0.36470393--0.36479981)×4.48372000362296e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48372000362296e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48372000362296e-05×40589641000000     		ar = 120504.699793322m²