Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28962 / 44901
↖ ↑ ↗
← S 55.294756°
W 20.906982°		 ← 347.75 m → S 55.294756°
W 20.901489°		 →
↑
347.79 m
↓
↑
347.79 m
↓
S 55.297884°
W 20.906982°		 ← 347.73 m →
120 942 m²		 S 55.297884°
W 20.901489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441932678222656 y=0.685142517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441932678222656 × 216)
    floor (0.441932678222656 × 65536)
    floor (28962.5)     		tx = 28962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685142517089844 × 216)
    floor (0.685142517089844 × 65536)
    floor (44901.5)     		ty = 44901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28962 / 44901 ti = "16/28962/44901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28962/44901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28962 ÷ 216
    28962 ÷ 65536     		x = 0.441925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44901 ÷ 216
    44901 ÷ 65536     		y = 0.685134887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.11614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36489568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685134887695312 × 2 - 1) × π
    -0.370269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16323680618028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36489568} λ = -0.36489568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16323680618028))-π/2
    2×atan(0.312473127288431)-π/2
    2×0.302860386286743-π/2
    0.605720772573486-1.57079632675     		φ = -0.96507555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36489568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.906982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96507555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.294756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28962 KachelY 44901 -0.36489568 -0.96507555 -20.906982 -55.294756
    Oben rechts KachelX + 1 28963 KachelY 44901 -0.36479981 -0.96507555 -20.901489 -55.294756
    Unten links KachelX 28962 KachelY + 1 44902 -0.36489568 -0.96513014 -20.906982 -55.297884
    Unten rechts KachelX + 1 28963 KachelY + 1 44902 -0.36479981 -0.96513014 -20.901489 -55.297884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96507555--0.96513014) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dl = 347.79288999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96507555--0.96513014) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dr = 347.79288999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36489568--0.36479981) × cos(-0.96507555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.569354768891896 × 6371000     		do = 347.754929630339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36489568--0.36479981) × cos(-0.96513014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56930989004491 × 6371000     		du = 347.727518179468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96507555)-sin(-0.96513014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569354768891896-0.56930989004491)×R²
    abs(-0.36479981--0.36489568)×4.48788469858963e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48788469858963e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48788469858963e-05×40589641000000     		ar = 120941.925264259m²