Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28956 / 44332
↖ ↑ ↗
← S 53.474970°
W 20.939941°		 ← 363.52 m → S 53.474970°
W 20.934448°		 →
↑
363.53 m
↓
↑
363.53 m
↓
S 53.478239°
W 20.939941°		 ← 363.50 m →
132 147 m²		 S 53.478239°
W 20.934448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441841125488281 y=0.676460266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441841125488281 × 216)
    floor (0.441841125488281 × 65536)
    floor (28956.5)     		tx = 28956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676460266113281 × 216)
    floor (0.676460266113281 × 65536)
    floor (44332.5)     		ty = 44332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28956 / 44332 ti = "16/28956/44332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28956/44332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28956 ÷ 216
    28956 ÷ 65536     		x = 0.44183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44332 ÷ 216
    44332 ÷ 65536     		y = 0.67645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.3529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10868461441266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36547092} λ = -0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10868461441266))-π/2
    2×atan(0.32999274341574)-π/2
    2×0.318741016458222-π/2
    0.637482032916444-1.57079632675     		φ = -0.93331429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93331429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.474970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28956 KachelY 44332 -0.36547092 -0.93331429 -20.939941 -53.474970
    Oben rechts KachelX + 1 28957 KachelY 44332 -0.36537505 -0.93331429 -20.934448 -53.474970
    Unten links KachelX 28956 KachelY + 1 44333 -0.36547092 -0.93337135 -20.939941 -53.478239
    Unten rechts KachelX + 1 28957 KachelY + 1 44333 -0.36537505 -0.93337135 -20.934448 -53.478239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93331429--0.93337135) × R
    5.70600000000532e-05 × 6371000     		dl = 363.529260000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93331429--0.93337135) × R
    5.70600000000532e-05 × 6371000     		dr = 363.529260000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36547092--0.36537505) × cos(-0.93331429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595173902741245 × 6371000     		do = 363.524940817514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36547092--0.36537505) × cos(-0.93337135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595128048531562 × 6371000     		du = 363.496933627037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93331429)-sin(-0.93337135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595173902741245-0.595128048531562)×R²
    abs(-0.36537505--0.36547092)×4.58542096829495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58542096829495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58542096829495e-05×40589641000000     		ar = 132146.862045981m²