Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28952 / 45816
↖ ↑ ↗
← S 58.054632°
W 20.961914°		 ← 323.21 m → S 58.054632°
W 20.956421°		 →
↑
323.20 m
↓
↑
323.20 m
↓
S 58.057538°
W 20.961914°		 ← 323.18 m →
104 457 m²		 S 58.057538°
W 20.956421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441780090332031 y=0.699104309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441780090332031 × 216)
    floor (0.441780090332031 × 65536)
    floor (28952.5)     		tx = 28952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699104309082031 × 216)
    floor (0.699104309082031 × 65536)
    floor (45816.5)     		ty = 45816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28952 / 45816 ti = "16/28952/45816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28952/45816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28952 ÷ 216
    28952 ÷ 65536     		x = 0.4417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45816 ÷ 216
    45816 ÷ 65536     		y = 0.6990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36585442} λ = -0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25096133248499))-π/2
    2×atan(0.286229502837609)-π/2
    2×0.278775926963494-π/2
    0.557551853926989-1.57079632675     		φ = -1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28952 KachelY 45816 -0.36585442 -1.01324447 -20.961914 -58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 28953 KachelY 45816 -0.36575854 -1.01324447 -20.956421 -58.054632
    Unten links KachelX 28952 KachelY + 1 45817 -0.36585442 -1.01329520 -20.961914 -58.057538
    Unten rechts KachelX + 1 28953 KachelY + 1 45817 -0.36575854 -1.01329520 -20.956421 -58.057538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01324447--1.01329520) × R
    5.07299999998878e-05 × 6371000     		dl = 323.200829999285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01324447--1.01329520) × R
    5.07299999998878e-05 × 6371000     		dr = 323.200829999285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36585442--0.36575854) × cos(-1.01324447) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 323.207874798325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36585442--0.36575854) × cos(-1.01329520) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.529067358569498 × 6371000     		du = 323.181579001844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01324447)-sin(-1.01329520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.529067358569498)×R²
    abs(-0.36575854--0.36585442)×4.3047774037408e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3047774037408e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3047774037408e-05×40589641000000     		ar = 104456.804007868m²