Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28952 / 45096
↖ ↑ ↗
← S 55.899956°
W 20.961914°		 ← 342.47 m → S 55.899956°
W 20.956421°		 →
↑
342.38 m
↓
↑
342.38 m
↓
S 55.903035°
W 20.961914°		 ← 342.44 m →
117 249 m²		 S 55.903035°
W 20.956421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441780090332031 y=0.688117980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441780090332031 × 216)
    floor (0.441780090332031 × 65536)
    floor (28952.5)     		tx = 28952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688117980957031 × 216)
    floor (0.688117980957031 × 65536)
    floor (45096.5)     		ty = 45096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28952 / 45096 ti = "16/28952/45096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28952/45096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28952 ÷ 216
    28952 ÷ 65536     		x = 0.4417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45096 ÷ 216
    45096 ÷ 65536     		y = 0.6881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1819321970321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36585442} λ = -0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1819321970321))-π/2
    2×atan(0.306685588760097)-π/2
    2×0.297579020189707-π/2
    0.595158040379414-1.57079632675     		φ = -0.97563829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97563829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.899956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28952 KachelY 45096 -0.36585442 -0.97563829 -20.961914 -55.899956
    Oben rechts KachelX + 1 28953 KachelY 45096 -0.36575854 -0.97563829 -20.956421 -55.899956
    Unten links KachelX 28952 KachelY + 1 45097 -0.36585442 -0.97569203 -20.961914 -55.903035
    Unten rechts KachelX + 1 28953 KachelY + 1 45097 -0.36575854 -0.97569203 -20.956421 -55.903035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97563829--0.97569203) × R
    5.37400000000243e-05 × 6371000     		dl = 342.377540000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97563829--0.97569203) × R
    5.37400000000243e-05 × 6371000     		dr = 342.377540000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36585442--0.36575854) × cos(-0.97563829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560639625433125 × 6371000     		do = 342.467544942444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36585442--0.36575854) × cos(-0.97569203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560595124684158 × 6371000     		du = 342.440361594076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97563829)-sin(-0.97569203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560639625433125-0.560595124684158)×R²
    abs(-0.36575854--0.36585442)×4.45007489673355e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45007489673355e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45007489673355e-05×40589641000000     		ar = 117248.542111471m²