Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28952 / 45048
↖ ↑ ↗
← S 55.751850°
W 20.961914°		 ← 343.77 m → S 55.751850°
W 20.956421°		 →
↑
343.72 m
↓
↑
343.72 m
↓
S 55.754941°
W 20.961914°		 ← 343.75 m →
118 156 m²		 S 55.754941°
W 20.956421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441780090332031 y=0.687385559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441780090332031 × 216)
    floor (0.441780090332031 × 65536)
    floor (28952.5)     		tx = 28952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687385559082031 × 216)
    floor (0.687385559082031 × 65536)
    floor (45048.5)     		ty = 45048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28952 / 45048 ti = "16/28952/45048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28952/45048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28952 ÷ 216
    28952 ÷ 65536     		x = 0.4417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45048 ÷ 216
    45048 ÷ 65536     		y = 0.6873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36585442} λ = -0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17733025466858))-π/2
    2×atan(0.308100190624898)-π/2
    2×0.298871495426028-π/2
    0.597742990852056-1.57079632675     		φ = -0.97305334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97305334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.751850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28952 KachelY 45048 -0.36585442 -0.97305334 -20.961914 -55.751850
    Oben rechts KachelX + 1 28953 KachelY 45048 -0.36575854 -0.97305334 -20.956421 -55.751850
    Unten links KachelX 28952 KachelY + 1 45049 -0.36585442 -0.97310729 -20.961914 -55.754941
    Unten rechts KachelX + 1 28953 KachelY + 1 45049 -0.36575854 -0.97310729 -20.956421 -55.754941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97305334--0.97310729) × R
    5.39499999999693e-05 × 6371000     		dl = 343.715449999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97305334--0.97310729) × R
    5.39499999999693e-05 × 6371000     		dr = 343.715449999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36585442--0.36575854) × cos(-0.97305334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562778243420655 × 6371000     		do = 343.773922905281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36585442--0.36575854) × cos(-0.97310729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562733647104534 × 6371000     		du = 343.746681179576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97305334)-sin(-0.97310729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562778243420655-0.562733647104534)×R²
    abs(-0.36575854--0.36585442)×4.45963161216367e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45963161216367e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45963161216367e-05×40589641000000     		ar = 118155.726937141m²