Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28949 / 45093
↖ ↑ ↗
← S 55.890716°
W 20.978394°		 ← 342.51 m → S 55.890716°
W 20.972901°		 →
↑
342.50 m
↓
↑
342.50 m
↓
S 55.893796°
W 20.978394°		 ← 342.49 m →
117 308 m²		 S 55.893796°
W 20.972901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441734313964844 y=0.688072204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441734313964844 × 216)
    floor (0.441734313964844 × 65536)
    floor (28949.5)     		tx = 28949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688072204589844 × 216)
    floor (0.688072204589844 × 65536)
    floor (45093.5)     		ty = 45093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28949 / 45093 ti = "16/28949/45093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28949/45093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28949 ÷ 216
    28949 ÷ 65536     		x = 0.441726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45093 ÷ 216
    45093 ÷ 65536     		y = 0.688064575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441726684570312 × 2 - 1) × π
    -0.116546630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36614204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688064575195312 × 2 - 1) × π
    -0.376129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18164457563438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36614204} λ = -0.36614204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18164457563438))-π/2
    2×atan(0.306773810784459)-π/2
    2×0.297659655768142-π/2
    0.595319311536285-1.57079632675     		φ = -0.97547702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36614204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.978394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97547702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.890716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28949 KachelY 45093 -0.36614204 -0.97547702 -20.978394 -55.890716
    Oben rechts KachelX + 1 28950 KachelY 45093 -0.36604617 -0.97547702 -20.972901 -55.890716
    Unten links KachelX 28949 KachelY + 1 45094 -0.36614204 -0.97553078 -20.978394 -55.893796
    Unten rechts KachelX + 1 28950 KachelY + 1 45094 -0.36604617 -0.97553078 -20.972901 -55.893796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97547702--0.97553078) × R
    5.37600000000138e-05 × 6371000     		dl = 342.504960000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97547702--0.97553078) × R
    5.37600000000138e-05 × 6371000     		dr = 342.504960000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36614204--0.36604617) × cos(-0.97547702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560773159363266 × 6371000     		do = 342.513387483336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36614204--0.36604617) × cos(-0.97553078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56072864691356 × 6371000     		du = 342.486199823443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97547702)-sin(-0.97553078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560773159363266-0.56072864691356)×R²
    abs(-0.36604617--0.36614204)×4.45124497066018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45124497066018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45124497066018e-05×40589641000000     		ar = 117307.878153554m²