Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28946 / 44355
↖ ↑ ↗
← S 53.550099°
W 20.994873°		 ← 362.88 m → S 53.550099°
W 20.989380°		 →
↑
362.89 m
↓
↑
362.89 m
↓
S 53.553363°
W 20.994873°		 ← 362.85 m →
131 682 m²		 S 53.553363°
W 20.989380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441688537597656 y=0.676811218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441688537597656 × 216)
    floor (0.441688537597656 × 65536)
    floor (28946.5)     		tx = 28946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676811218261719 × 216)
    floor (0.676811218261719 × 65536)
    floor (44355.5)     		ty = 44355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28946 / 44355 ti = "16/28946/44355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28946/44355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28946 ÷ 216
    28946 ÷ 65536     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44355 ÷ 216
    44355 ÷ 65536     		y = 0.676803588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676803588867188 × 2 - 1) × π
    -0.353607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11088971179518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11088971179518))-π/2
    2×atan(0.329265878978945)-π/2
    2×0.318085389502398-π/2
    0.636170779004797-1.57079632675     		φ = -0.93462555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93462555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.550099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28946 KachelY 44355 -0.36642966 -0.93462555 -20.994873 -53.550099
    Oben rechts KachelX + 1 28947 KachelY 44355 -0.36633379 -0.93462555 -20.989380 -53.550099
    Unten links KachelX 28946 KachelY + 1 44356 -0.36642966 -0.93468251 -20.994873 -53.553363
    Unten rechts KachelX + 1 28947 KachelY + 1 44356 -0.36633379 -0.93468251 -20.989380 -53.553363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93462555--0.93468251) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dl = 362.892159999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93462555--0.93468251) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dr = 362.892159999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36633379) × cos(-0.93462555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59411966686135 × 6371000     		do = 362.881026435379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36633379) × cos(-0.93468251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594073848602663 × 6371000     		du = 362.85304120333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93462555)-sin(-0.93468251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59411966686135-0.594073848602663)×R²
    abs(-0.36633379--0.36642966)×4.58182586865474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58182586865474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58182586865474e-05×40589641000000     		ar = 131681.601731416m²