Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28943 / 45839
↖ ↑ ↗
← S 58.121419°
W 21.011352°		 ← 322.57 m → S 58.121419°
W 21.005859°		 →
↑
322.56 m
↓
↑
322.56 m
↓
S 58.124319°
W 21.011352°		 ← 322.54 m →
104 045 m²		 S 58.124319°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441642761230469 y=0.699455261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441642761230469 × 216)
    floor (0.441642761230469 × 65536)
    floor (28943.5)     		tx = 28943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699455261230469 × 216)
    floor (0.699455261230469 × 65536)
    floor (45839.5)     		ty = 45839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28943 / 45839 ti = "16/28943/45839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28943/45839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28943 ÷ 216
    28943 ÷ 65536     		x = 0.441635131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45839 ÷ 216
    45839 ÷ 65536     		y = 0.699447631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441635131835938 × 2 - 1) × π
    -0.116729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36671728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699447631835938 × 2 - 1) × π
    -0.398895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25316642986751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36671728} λ = -0.36671728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25316642986751))-π/2
    2×atan(0.285599034287844)-π/2
    2×0.278193102555956-π/2
    0.556386205111913-1.57079632675     		φ = -1.01441012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36671728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.011352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01441012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.121419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28943 KachelY 45839 -0.36671728 -1.01441012 -21.011352 -58.121419
    Oben rechts KachelX + 1 28944 KachelY 45839 -0.36662141 -1.01441012 -21.005859 -58.121419
    Unten links KachelX 28943 KachelY + 1 45840 -0.36671728 -1.01446075 -21.011352 -58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 28944 KachelY + 1 45840 -0.36662141 -1.01446075 -21.005859 -58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01441012--1.01446075) × R
    5.06300000000515e-05 × 6371000     		dl = 322.563730000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01441012--1.01446075) × R
    5.06300000000515e-05 × 6371000     		dr = 322.563730000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36671728--0.36662141) × cos(-1.01441012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528120931312329 × 6371000     		do = 322.569805926574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36671728--0.36662141) × cos(-1.01446075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 322.543545648764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01441012)-sin(-1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528120931312329-0.5280779372003)×R²
    abs(-0.36662141--0.36671728)×4.29941120290156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29941120290156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29941120290156e-05×40589641000000     		ar = 104045.084500743m²