Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28943 / 44886
↖ ↑ ↗
← S 55.247815°
W 21.011352°		 ← 348.17 m → S 55.247815°
W 21.005859°		 →
↑
348.18 m
↓
↑
348.18 m
↓
S 55.250946°
W 21.011352°		 ← 348.14 m →
121 218 m²		 S 55.250946°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441642761230469 y=0.684913635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441642761230469 × 216)
    floor (0.441642761230469 × 65536)
    floor (28943.5)     		tx = 28943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684913635253906 × 216)
    floor (0.684913635253906 × 65536)
    floor (44886.5)     		ty = 44886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28943 / 44886 ti = "16/28943/44886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28943/44886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28943 ÷ 216
    28943 ÷ 65536     		x = 0.441635131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44886 ÷ 216
    44886 ÷ 65536     		y = 0.684906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441635131835938 × 2 - 1) × π
    -0.116729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36671728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684906005859375 × 2 - 1) × π
    -0.36981201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16179869919168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36671728} λ = -0.36671728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16179869919168))-π/2
    2×atan(0.312922820352401)-π/2
    2×0.303270024875689-π/2
    0.606540049751379-1.57079632675     		φ = -0.96425628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36671728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.011352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96425628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.247815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28943 KachelY 44886 -0.36671728 -0.96425628 -21.011352 -55.247815
    Oben rechts KachelX + 1 28944 KachelY 44886 -0.36662141 -0.96425628 -21.005859 -55.247815
    Unten links KachelX 28943 KachelY + 1 44887 -0.36671728 -0.96431093 -21.011352 -55.250946
    Unten rechts KachelX + 1 28944 KachelY + 1 44887 -0.36662141 -0.96431093 -21.005859 -55.250946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96425628--0.96431093) × R
    5.46500000000449e-05 × 6371000     		dl = 348.175150000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96425628--0.96431093) × R
    5.46500000000449e-05 × 6371000     		dr = 348.175150000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36671728--0.36662141) × cos(-0.96425628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570028092998519 × 6371000     		do = 348.16618775991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36671728--0.36662141) × cos(-0.96431093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.569983190330001 × 6371000     		du = 348.138761759139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96425628)-sin(-0.96431093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570028092998519-0.569983190330001)×R²
    abs(-0.36662141--0.36671728)×4.49026685174214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49026685174214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49026685174214e-05×40589641000000     		ar = 121218.040152498m²