Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28939 / 45835
↖ ↑ ↗
← S 58.109813°
W 21.033325°		 ← 322.71 m → S 58.109813°
W 21.027832°		 →
↑
322.63 m
↓
↑
322.63 m
↓
S 58.112714°
W 21.033325°		 ← 322.68 m →
104 110 m²		 S 58.112714°
W 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441581726074219 y=0.699394226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441581726074219 × 216)
    floor (0.441581726074219 × 65536)
    floor (28939.5)     		tx = 28939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699394226074219 × 216)
    floor (0.699394226074219 × 65536)
    floor (45835.5)     		ty = 45835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28939 / 45835 ti = "16/28939/45835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28939/45835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28939 ÷ 216
    28939 ÷ 65536     		x = 0.441574096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45835 ÷ 216
    45835 ÷ 65536     		y = 0.699386596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441574096679688 × 2 - 1) × π
    -0.116851806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36710078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.398773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25278293467055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36710078} λ = -0.36710078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25278293467055))-π/2
    2×atan(0.285708581149755)-π/2
    2×0.278294384965806-π/2
    0.556588769931612-1.57079632675     		φ = -1.01420756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36710078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.033325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01420756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.109813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28939 KachelY 45835 -0.36710078 -1.01420756 -21.033325 -58.109813
    Oben rechts KachelX + 1 28940 KachelY 45835 -0.36700490 -1.01420756 -21.027832 -58.109813
    Unten links KachelX 28939 KachelY + 1 45836 -0.36710078 -1.01425820 -21.033325 -58.112714
    Unten rechts KachelX + 1 28940 KachelY + 1 45836 -0.36700490 -1.01425820 -21.027832 -58.112714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01420756--1.01425820) × R
    5.06399999999907e-05 × 6371000     		dl = 322.627439999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01420756--1.01425820) × R
    5.06399999999907e-05 × 6371000     		dr = 322.627439999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36710078--0.36700490) × cos(-1.01420756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528292928183995 × 6371000     		do = 322.708517054702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36710078--0.36700490) × cos(-1.01425820) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528249930997942 × 6371000     		du = 322.682252159966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01420756)-sin(-1.01425820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528292928183995-0.528249930997942)×R²
    abs(-0.36700490--0.36710078)×4.29971860528289e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29971860528289e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29971860528289e-05×40589641000000     		ar = 104110.385858207m²