Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28936 / 45833
↖ ↑ ↗
← S 58.104008°
W 21.049805°		 ← 322.76 m → S 58.104008°
W 21.044311°		 →
↑
322.75 m
↓
↑
322.75 m
↓
S 58.106911°
W 21.049805°		 ← 322.73 m →
104 168 m²		 S 58.106911°
W 21.044311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441535949707031 y=0.699363708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441535949707031 × 216)
    floor (0.441535949707031 × 65536)
    floor (28936.5)     		tx = 28936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699363708496094 × 216)
    floor (0.699363708496094 × 65536)
    floor (45833.5)     		ty = 45833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28936 / 45833 ti = "16/28936/45833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28936/45833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28936 ÷ 216
    28936 ÷ 65536     		x = 0.4415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45833 ÷ 216
    45833 ÷ 65536     		y = 0.699356079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699356079101562 × 2 - 1) × π
    -0.398712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25259118707207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36738840} λ = -0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25259118707207))-π/2
    2×atan(0.285763370336736)-π/2
    2×0.278345038539343-π/2
    0.556690077078686-1.57079632675     		φ = -1.01410625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01410625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.104008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28936 KachelY 45833 -0.36738840 -1.01410625 -21.049805 -58.104008
    Oben rechts KachelX + 1 28937 KachelY 45833 -0.36729252 -1.01410625 -21.044311 -58.104008
    Unten links KachelX 28936 KachelY + 1 45834 -0.36738840 -1.01415691 -21.049805 -58.106911
    Unten rechts KachelX + 1 28937 KachelY + 1 45834 -0.36729252 -1.01415691 -21.044311 -58.106911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01410625--1.01415691) × R
    5.06600000000912e-05 × 6371000     		dl = 322.754860000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01410625--1.01415691) × R
    5.06600000000912e-05 × 6371000     		dr = 322.754860000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36738840--0.36729252) × cos(-1.01410625) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528378943961972 × 6371000     		do = 322.761059919983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36738840--0.36729252) × cos(-1.01415691) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528335932505643 × 6371000     		du = 322.734786308227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01410625)-sin(-1.01415691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528378943961972-0.528335932505643)×R²
    abs(-0.36729252--0.36738840)×4.30114563294559e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30114563294559e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30114563294559e-05×40589641000000     		ar = 104168.460762628m²