Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28935 / 45821
↖ ↑ ↗
← S 58.069161°
W 21.055298°		 ← 323.04 m → S 58.069161°
W 21.049805°		 →
↑
323.07 m
↓
↑
323.07 m
↓
S 58.072067°
W 21.055298°		 ← 323.02 m →
104 362 m²		 S 58.072067°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441520690917969 y=0.699180603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441520690917969 × 216)
    floor (0.441520690917969 × 65536)
    floor (28935.5)     		tx = 28935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699180603027344 × 216)
    floor (0.699180603027344 × 65536)
    floor (45821.5)     		ty = 45821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28935 / 45821 ti = "16/28935/45821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28935/45821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28935 ÷ 216
    28935 ÷ 65536     		x = 0.441513061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45821 ÷ 216
    45821 ÷ 65536     		y = 0.699172973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441513061523438 × 2 - 1) × π
    -0.116973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36748427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699172973632812 × 2 - 1) × π
    -0.398345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25144070148119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36748427} λ = -0.36748427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25144070148119))-π/2
    2×atan(0.286092326169898)-π/2
    2×0.278649133192952-π/2
    0.557298266385904-1.57079632675     		φ = -1.01349806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36748427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.055298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01349806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.069161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28935 KachelY 45821 -0.36748427 -1.01349806 -21.055298 -58.069161
    Oben rechts KachelX + 1 28936 KachelY 45821 -0.36738840 -1.01349806 -21.049805 -58.069161
    Unten links KachelX 28935 KachelY + 1 45822 -0.36748427 -1.01354877 -21.055298 -58.072067
    Unten rechts KachelX + 1 28936 KachelY + 1 45822 -0.36738840 -1.01354877 -21.049805 -58.072067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01349806--1.01354877) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dl = 323.07341000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01349806--1.01354877) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dr = 323.07341000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36748427--0.36738840) × cos(-1.01349806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528895204779963 × 6371000     		do = 323.04272269124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36748427--0.36738840) × cos(-1.01354877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528852167175061 × 6371000     		du = 323.016435848516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01349806)-sin(-1.01354877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528895204779963-0.528852167175061)×R²
    abs(-0.36738840--0.36748427)×4.30376049017633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30376049017633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30376049017633e-05×40589641000000     		ar = 104362.267727932m²