Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28934 / 45820
↖ ↑ ↗
← S 58.066256°
W 21.060791°		 ← 323.10 m → S 58.066256°
W 21.055298°		 →
↑
323.07 m
↓
↑
323.07 m
↓
S 58.069161°
W 21.060791°		 ← 323.08 m →
104 382 m²		 S 58.069161°
W 21.055298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441505432128906 y=0.699165344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441505432128906 × 216)
    floor (0.441505432128906 × 65536)
    floor (28934.5)     		tx = 28934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699165344238281 × 216)
    floor (0.699165344238281 × 65536)
    floor (45820.5)     		ty = 45820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28934 / 45820 ti = "16/28934/45820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28934/45820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28934 ÷ 216
    28934 ÷ 65536     		x = 0.441497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45820 ÷ 216
    45820 ÷ 65536     		y = 0.69915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36758015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25134482768195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36758015} λ = -0.36758015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25134482768195))-π/2
    2×atan(0.286119756243033)-π/2
    2×0.278674487820765-π/2
    0.55734897564153-1.57079632675     		φ = -1.01344735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36758015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01344735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.066256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28934 KachelY 45820 -0.36758015 -1.01344735 -21.060791 -58.066256
    Oben rechts KachelX + 1 28935 KachelY 45820 -0.36748427 -1.01344735 -21.055298 -58.066256
    Unten links KachelX 28934 KachelY + 1 45821 -0.36758015 -1.01349806 -21.060791 -58.069161
    Unten rechts KachelX + 1 28935 KachelY + 1 45821 -0.36748427 -1.01349806 -21.055298 -58.069161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01344735--1.01349806) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dl = 323.07341000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01344735--1.01349806) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dr = 323.07341000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36758015--0.36748427) × cos(-1.01344735) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528938241024808 × 6371000     		do = 323.102707358576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36758015--0.36748427) × cos(-1.01349806) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528895204779963 × 6371000     		du = 323.076418604718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01344735)-sin(-1.01349806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528938241024808-0.528895204779963)×R²
    abs(-0.36748427--0.36758015)×4.30362448455845e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30362448455845e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30362448455845e-05×40589641000000     		ar = 104381.646870321m²