Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28929 / 45829
↖ ↑ ↗
← S 58.092397°
W 21.088257°		 ← 322.87 m → S 58.092397°
W 21.082764°		 →
↑
322.82 m
↓
↑
322.82 m
↓
S 58.095300°
W 21.088257°		 ← 322.84 m →
104 223 m²		 S 58.095300°
W 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441429138183594 y=0.699302673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441429138183594 × 216)
    floor (0.441429138183594 × 65536)
    floor (28929.5)     		tx = 28929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699302673339844 × 216)
    floor (0.699302673339844 × 65536)
    floor (45829.5)     		ty = 45829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28929 / 45829 ti = "16/28929/45829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28929/45829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28929 ÷ 216
    28929 ÷ 65536     		x = 0.441421508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45829 ÷ 216
    45829 ÷ 65536     		y = 0.699295043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441421508789062 × 2 - 1) × π
    -0.117156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36805952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699295043945312 × 2 - 1) × π
    -0.398590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25220769187511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36805952} λ = -0.36805952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25220769187511))-π/2
    2×atan(0.285872980232818)-π/2
    2×0.278446370427755-π/2
    0.55689274085551-1.57079632675     		φ = -1.01390359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36805952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.088257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01390359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.092397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28929 KachelY 45829 -0.36805952 -1.01390359 -21.088257 -58.092397
    Oben rechts KachelX + 1 28930 KachelY 45829 -0.36796364 -1.01390359 -21.082764 -58.092397
    Unten links KachelX 28929 KachelY + 1 45830 -0.36805952 -1.01395426 -21.088257 -58.095300
    Unten rechts KachelX + 1 28930 KachelY + 1 45830 -0.36796364 -1.01395426 -21.082764 -58.095300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01390359--1.01395426) × R
    5.06700000000304e-05 × 6371000     		dl = 322.818570000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01390359--1.01395426) × R
    5.06700000000304e-05 × 6371000     		dr = 322.818570000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36805952--0.36796364) × cos(-1.01390359) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528550993203711 × 6371000     		do = 322.866156453932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36805952--0.36796364) × cos(-1.01395426) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528507978683499 × 6371000     		du = 322.839880970599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01390359)-sin(-1.01395426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528550993203711-0.528507978683499)×R²
    abs(-0.36796364--0.36805952)×4.30145202127141e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30145202127141e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30145202127141e-05×40589641000000     		ar = 104222.949843099m²