Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28921 / 44841
↖ ↑ ↗
← S 55.106658°
W 21.132202°		 ← 349.44 m → S 55.106658°
W 21.126709°		 →
↑
349.39 m
↓
↑
349.39 m
↓
S 55.109801°
W 21.132202°		 ← 349.41 m →
122 084 m²		 S 55.109801°
W 21.126709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441307067871094 y=0.684226989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441307067871094 × 216)
    floor (0.441307067871094 × 65536)
    floor (28921.5)     		tx = 28921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684226989746094 × 216)
    floor (0.684226989746094 × 65536)
    floor (44841.5)     		ty = 44841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28921 / 44841 ti = "16/28921/44841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28921/44841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28921 ÷ 216
    28921 ÷ 65536     		x = 0.441299438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44841 ÷ 216
    44841 ÷ 65536     		y = 0.684219360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441299438476562 × 2 - 1) × π
    -0.117401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36882651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684219360351562 × 2 - 1) × π
    -0.368438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15748437822588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36882651} λ = -0.36882651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15748437822588))-π/2
    2×atan(0.314275786303006)-π/2
    2×0.304501847679562-π/2
    0.609003695359124-1.57079632675     		φ = -0.96179263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36882651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.132202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96179263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.106658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28921 KachelY 44841 -0.36882651 -0.96179263 -21.132202 -55.106658
    Oben rechts KachelX + 1 28922 KachelY 44841 -0.36873063 -0.96179263 -21.126709 -55.106658
    Unten links KachelX 28921 KachelY + 1 44842 -0.36882651 -0.96184747 -21.132202 -55.109801
    Unten rechts KachelX + 1 28922 KachelY + 1 44842 -0.36873063 -0.96184747 -21.126709 -55.109801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96179263--0.96184747) × R
    5.48400000000004e-05 × 6371000     		dl = 349.385640000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96179263--0.96184747) × R
    5.48400000000004e-05 × 6371000     		dr = 349.385640000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36882651--0.36873063) × cos(-0.96179263) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572050557968496 × 6371000     		do = 349.437929969855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36882651--0.36873063) × cos(-0.96184747) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572005576333422 × 6371000     		du = 349.410452871497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96179263)-sin(-0.96184747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572050557968496-0.572005576333422)×R²
    abs(-0.36873063--0.36882651)×4.49816350744925e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49816350744925e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49816350744925e-05×40589641000000     		ar = 122083.79478189m²