Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28920 / 45112
↖ ↑ ↗
← S 55.949200°
W 21.137695°		 ← 342 m → S 55.949200°
W 21.132202°		 →
↑
342 m
↓
↑
342 m
↓
S 55.952275°
W 21.137695°		 ← 341.97 m →
116 957 m²		 S 55.952275°
W 21.132202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441291809082031 y=0.688362121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441291809082031 × 216)
    floor (0.441291809082031 × 65536)
    floor (28920.5)     		tx = 28920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688362121582031 × 216)
    floor (0.688362121582031 × 65536)
    floor (45112.5)     		ty = 45112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28920 / 45112 ti = "16/28920/45112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28920/45112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28920 ÷ 216
    28920 ÷ 65536     		x = 0.4412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45112 ÷ 216
    45112 ÷ 65536     		y = 0.6883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18346617781995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36892238} λ = -0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18346617781995))-π/2
    2×atan(0.306215499605077)-π/2
    2×0.297149288019922-π/2
    0.594298576039845-1.57079632675     		φ = -0.97649775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97649775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.949200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28920 KachelY 45112 -0.36892238 -0.97649775 -21.137695 -55.949200
    Oben rechts KachelX + 1 28921 KachelY 45112 -0.36882651 -0.97649775 -21.132202 -55.949200
    Unten links KachelX 28920 KachelY + 1 45113 -0.36892238 -0.97655143 -21.137695 -55.952275
    Unten rechts KachelX + 1 28921 KachelY + 1 45113 -0.36882651 -0.97655143 -21.132202 -55.952275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97649775--0.97655143) × R
    5.36799999999449e-05 × 6371000     		dl = 341.995279999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97649775--0.97655143) × R
    5.36799999999449e-05 × 6371000     		dr = 341.995279999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36892238--0.36882651) × cos(-0.97649775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559927734088408 × 6371000     		do = 341.997012065004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36892238--0.36882651) × cos(-0.97655143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559883257176723 × 6371000     		du = 341.9698461113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97649775)-sin(-0.97655143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559927734088408-0.559883257176723)×R²
    abs(-0.36882651--0.36892238)×4.44769116850763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44769116850763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44769116850763e-05×40589641000000     		ar = 116956.718614382m²