Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28914 / 45178
↖ ↑ ↗
← S 56.151669°
W 21.170654°		 ← 340.21 m → S 56.151669°
W 21.165161°		 →
↑
340.21 m
↓
↑
340.21 m
↓
S 56.154729°
W 21.170654°		 ← 340.18 m →
115 738 m²		 S 56.154729°
W 21.165161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441200256347656 y=0.689369201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441200256347656 × 216)
    floor (0.441200256347656 × 65536)
    floor (28914.5)     		tx = 28914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689369201660156 × 216)
    floor (0.689369201660156 × 65536)
    floor (45178.5)     		ty = 45178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28914 / 45178 ti = "16/28914/45178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28914/45178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28914 ÷ 216
    28914 ÷ 65536     		x = 0.441192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45178 ÷ 216
    45178 ÷ 65536     		y = 0.689361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36949762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.37872314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18979384856979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36949762} λ = -0.36949762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18979384856979))-π/2
    2×atan(0.304283986180295)-π/2
    2×0.295382408231729-π/2
    0.590764816463458-1.57079632675     		φ = -0.98003151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36949762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.170654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98003151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.151669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28914 KachelY 45178 -0.36949762 -0.98003151 -21.170654 -56.151669
    Oben rechts KachelX + 1 28915 KachelY 45178 -0.36940175 -0.98003151 -21.165161 -56.151669
    Unten links KachelX 28914 KachelY + 1 45179 -0.36949762 -0.98008491 -21.170654 -56.154729
    Unten rechts KachelX + 1 28915 KachelY + 1 45179 -0.36940175 -0.98008491 -21.165161 -56.154729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98003151--0.98008491) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dl = 340.21139999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98003151--0.98008491) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dr = 340.21139999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36949762--0.36940175) × cos(-0.98003151) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.556996377517549 × 6371000     		do = 340.206575322212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36949762--0.36940175) × cos(-0.98008491) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.556952027226589 × 6371000     		du = 340.179486706897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98003151)-sin(-0.98008491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556996377517549-0.556952027226589)×R²
    abs(-0.36940175--0.36949762)×4.43502909605042e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.43502909605042e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.43502909605042e-05×40589641000000     		ar = 115737.547379123m²