Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28913 / 45874
↖ ↑ ↗
← S 58.222811°
W 21.176148°		 ← 321.69 m → S 58.222811°
W 21.170654°		 →
↑
321.67 m
↓
↑
321.67 m
↓
S 58.225704°
W 21.176148°		 ← 321.66 m →
103 473 m²		 S 58.225704°
W 21.170654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441184997558594 y=0.699989318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441184997558594 × 216)
    floor (0.441184997558594 × 65536)
    floor (28913.5)     		tx = 28913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699989318847656 × 216)
    floor (0.699989318847656 × 65536)
    floor (45874.5)     		ty = 45874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28913 / 45874 ti = "16/28913/45874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28913/45874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28913 ÷ 216
    28913 ÷ 65536     		x = 0.441177368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45874 ÷ 216
    45874 ÷ 65536     		y = 0.699981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441177368164062 × 2 - 1) × π
    -0.117645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36959350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.39996337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25652201284091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36959350} λ = -0.36959350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25652201284091))-π/2
    2×atan(0.284642289147759)-π/2
    2×0.277308287438919-π/2
    0.554616574877838-1.57079632675     		φ = -1.01617975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36959350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.176148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01617975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.222811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28913 KachelY 45874 -0.36959350 -1.01617975 -21.176148 -58.222811
    Oben rechts KachelX + 1 28914 KachelY 45874 -0.36949762 -1.01617975 -21.170654 -58.222811
    Unten links KachelX 28913 KachelY + 1 45875 -0.36959350 -1.01623024 -21.176148 -58.225704
    Unten rechts KachelX + 1 28914 KachelY + 1 45875 -0.36949762 -1.01623024 -21.170654 -58.225704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01617975--1.01623024) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dl = 321.67179000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01617975--1.01623024) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dr = 321.67179000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36959350--0.36949762) × cos(-1.01617975) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526617389926608 × 6371000     		do = 321.685012030381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36959350--0.36949762) × cos(-1.01623024) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.5265744675842 × 6371000     		du = 321.658792853996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01617975)-sin(-1.01623024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526617389926608-0.5265744675842)×R²
    abs(-0.36949762--0.36959350)×4.29223424087688e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29223424087688e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29223424087688e-05×40589641000000     		ar = 103472.776673444m²